[논문 리뷰] Generalized Euler, Smoluchowski and Schr\\"odinger equations admitting self-similar solutions with a Tsallis invariant profile

Pierre-Henri Chavanis|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 17.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 87인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비선형 운동에너지 항(인덱스 $q$로 표기)과 거듭제곱 법칙 비선형성(인덱스 $\gamma$로 표기)을 도입함으로써 오일러, 스몰وخ프스키, 슈뢰딩거 방정식을 일반화하여 히스탈리스 불변 프로파일을 가진 자가유사 해를 가능하게 한다. 핵심 결과는 $q$-의존적인 폰 바이츠제커 항과 $\gamma$-의존적인 히스탈리스 함수를 포함하는 일반화된 자유 에너지 기능에 대한 $H$-정리이며, 표준 양자역학 및 열역학 이론은 $q=\gamma=1$에서 복원된다. 일반화된 슈뢰딩거 방정식은 $q=2\gamma-1$일 때 정확한 자가유사 해를 가진다. 이 모델은 비확장 통계역학의 틀 안에서 일반화된 양자역학과 열역학을 통합한다.

ABSTRACT

The damped isothermal Euler equations, the Smoluchowski equation and the damped logarithmic Schr\\"odinger equation with a harmonic potential admit stationary and self-similar solutions with a Gaussian profile. They satisfy an $H$-theorem for a free energy functional involving the von Weizs\\"acker functional and the Boltzmann functional. We derive generalized forms of these equations in order to obtain stationary and self-similar solutions with a Tsallis profile. In particular, we introduce a nonlinear Schr\\"odinger equation involving a generalized kinetic term characterized by an index $q$ and a power-law nonlinearity characterized by an index $\\gamma$. We derive an $H$-theorem satisfied by a generalized free energy functional involving a generalized von Weizs\\"acker functional (associated with $q$) and a Tsallis functional (associated with $\\gamma$). This leads to a notion of generalized quantum mechanics and generalized thermodynamics. When $q=2\\gamma-1$, our nonlinear Schr\\"odinger equation admits an exact self-similar solution with a Tsallis invariant profile. Standard quantum mechanics (Schr\\"odinger) and standard thermodynamics (Boltzmann) are recovered for $q=\\gamma=1$.

연구 동기 및 목표

• 표준 유체역학 및 양자 방정식을 일반화하여 히스탈리스 불변 프로파일을 가진 자가유사 해를 허용하도록 확장하는 것.
• 일반화된 자유 에너지 기능을 유도하여 $q$-의존적인 일반화된 폰 바이츠제커 항과 $\gamma$-의존적인 히스탈리스 함수를 포함하는 것.
• 일반화된 자유 에너지에 대한 $H$-정리를 확립하여 평형 상태로의 안정적 수렴을 보장하는 것.
• 비확장 통계역학의 틀 안에서 비선형 슈뢰딩거 및 오일러 유형 방정식을 통해 일반화된 양자역학과 열역학을 통합하는 것.
• 정확한 자가유사 해가 히스탈리스 프로파일을 가진 채로 나타나는 조건인 $q=2\gamma-1$을 규명하는 것.

제안 방법

• 비선형 운동에너지 항이 $q$-의존적이고 거듭제곱 법칙 비선형성이 $\gamma$-의존적인 일반화된 비선형 슈뢰딩거 방정식을 도입한다.
• 마델룽 변환을 적용하여 일반화된 슈뢰딩거 방정식을 일반화된 양자 유체역학 방정식(감쇠된 다이아트로픽 오일러 방정식)으로 변환한다.
• 일반화된 자유 에너지 기능을 유도하며, 이는 $q$-일반화된 폰 바이츠제커 기능과 $\gamma$-일반화된 히스탈리스 기능을 조합하여 구성된다.
• 유체역학 방정식과의 일致성에 의해 결정되는 계수를 가진 $\rho$, $\nabla\rho$, $\Delta\rho$, $\partial_{ij}\rho$를 포함하는 변분 안자로부터 일반화된 압력 텐서 $P_{ij}^g$를 구성한다.
• $q=2\gamma-1$ 조건을 도입하여 히스탈리스 불변 프로파일을 가진 정확한 자가유사 해의 존재를 보장한다.
• 일반화된 프레임워크의 극한으로서 표준 양자역학($q=\gamma=1$)과 표준 열역학을 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감쇠된等온 오일러, 스몰وخ프스키, 슈뢰딩거 방정식은 히스탈리스 불변 프로파일을 가진 자가유사 해를 허용하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 $q$-일반화된 폰 바이츠제커 항과 $\gamma$-일반화된 히스탈리스 기능을 포함하는 시스템에 대해 $H$-정리를 지지하는 일반화된 자유 에너지 기능은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 비선형 슈뢰딩거 방정식이 히스탈리스 프로파일을 가진 정확한 자가유사 해를 가질 수 있는 $q$와 $\gamma$에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 양자 압력 텐서는 $\gamma \neq 1$일 때 표준 양자 압력 텐서와 어떻게 다를까?
• RQ5 비선형 유체역학 방정식의 맥락에서 일반화된 양자역학과 일반화된 열역학 사이의 공식적 연결은 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 비선형 슈뢰딩거 방정식은 $q = 2\gamma - 1$일 때 히스탈리스 불변 프로파일을 가진 정확한 자가유사 해를 가지며, 이는 표준 양자역학에서의 표준 가우시안 해를 일반화한다.
• 일반화된 자유 에너지 기능은 $q$-의존적인 일반화된 폰 바이츠제커 항과 $\gamma$-의존적인 히스탈리스 기능을 포함하며, 평형 상태로의 수렴을 보장하는 $H$-정리를 만족한다.
• 일반화된 압력 텐서 $P_{ij}^g$는 $\gamma \neq 1$일 때 표준 양자 압력 텐서에 존재하지 않는 새로운 항을 포함한다. 특히 $P_{ij}^g$ 표현식에서 $C \neq 0$에 비례하는 항이 존재한다.
• $\gamma = 1$일 때 일반화된 압력 텐서는 표준 양자 압력 텐서로 축소되며, 이는 표준 양자역학과 볼츠만 열역학을 복원한다.
• 다양한 $k$ 값의 선택에 따라 일반화된 압력 텐서는 세 가지의 별개의 형태로 유도되며, $\gamma = 1$일 때는 알려진 표준 형태들($P_{ij}^{(1)}$, $P_{ij}^{(2)}$, 대칭 형태 등)으로 축소된다. 일반화된 압력 텐서는 $\rho_0^{2-2\gamma}$에 비례하며, 이는 히스탈리스 프로파일의 척도와 관련이 있다.
• 시스템의 크기 진화 방정식은 천체물리학에서의 프리드만 방정식과 형식적으로 유사성을 가지며, 자가유사 유체역학적 붕괴와 우주 팽창 사이에 깊은 구조적 유사성을 시사한다.