[논문 리뷰] Generalized Greatest Common Divisors for the Orbits under Rational Functions

Keping Huang|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 13.

Analytic and geometric function theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Vojta의 추측에 기반하여, 두 다항식의 반복에 대한 일반화된 최대공약수(gcd)에 대한 조건부 상계를 확립한다. 높이 함수와 대수기하학을 사용하여, 차수-$d \geq 2$ 다항식에 대한 일반적인 궤도에서 $\gcd(f^{\circ n}(a)-\alpha, g^{\circ n}(b)-\beta) \leq C \cdot \exp(\varepsilon \cdot d^n)$임을 증명한다. 여기서 $C$는 매개변수에 의존하며, $\varepsilon > 0$는 임의로 선택할 수 있다.

ABSTRACT

Assume Vojta's Conjecture. Suppose $a, b, α,β\in \mathbb{Z}$, and $f(x),g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ are polynomials of degree $d \ge 2$. Assume that the sequence $(f^{\circ n}(a), g^{\circ n}(b))_n$ is generic and $α,β$ are not exceptional for $f,g$ respectively, we prove that for each given $\varepsilon > 0$, there exists constant $C = C(\varepsilon,a,b,α,β,f,g)>0$, such that for all $n \ge 1$, we have $$\gcd(f^{\circ n}(a)-α, g^{\circ n}(b) -β) \le C\cdot\exp({\varepsilon\cdot d^n}). $$ We prove an estimate for rational functions and for a more general gcd and then obtain the above inequality as a consequence.

연구 동기 및 목표

• 거듭제곱 사상에 대한 Bugeaud-Corvaja-Zannier의 gcd 상계를 다항식 동역학계로 확장하기.
• 높이 이론을 사용하여 유리 함수에 대한 궤도에 대한 일반화된 gcd 추정을 수립하기.
• 일반성 및 비예외 조건 하에서 반복의 차수에 따라 gcd가 지수적으로 최대한으로 증가함을 증명하기.
• Vojta의 추측 하에 산술적 등차수열을 통해 큰 gcd가 발생하는 조건을 규명하기.

제안 방법

• Silverman의 gcd 높이 프레임워크를 동역학계에 적용하여, $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$의 블로우업 위에서 gcd를 높이로 해석하기.
• Vojta의 추측을 사용하여, 적절한 조리형 닫힌 부분집합 외부에 있는 점들의 높이를 유계화하기.
• $f, g$에 대해 $\alpha, \beta$의 비예외성 조건을 통해 분지도 제어하기.
• 예외적 집합의 구조를 분석하기 위해 동역학적 Mordell-Lang 정리를 활용하기.
• 차수와 정준 높이 추정을 통해 곡선 위의 높이 비교로 문제를 축소하기.
• 정준 높이 $\hat{h}_f(a)$, $\hat{h}_g(b)$를 사용하여 gcd의 점근적 증가율 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복된 다항식 값의 gcd가 느리게 증가하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Vojta의 추측을 사용하여 동역학 궤도 내 값의 gcd를 유계화할 수 있는가?
• RQ3 다음과 같은 $n$의 집합의 구조는 무엇인가? $\gcd(f^{\circ n}(a)-\alpha, g^{\circ n}(b)-\beta)$가 크다.
• RQ4 궤도의 일반성은 gcd의 증가에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 gcd가 최대 가능한 지수적 증가율 $\exp(\varepsilon d^n)$로 증가할 때는 언제인가?

주요 결과

• 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, $C = C(\varepsilon, a, b, \alpha, \beta, f, g) > 0$인 상수 $C$가 존재하여 모든 $n \geq 1$에 대해 $\gcd(f^{\circ n}(a)-\alpha, g^{\circ n}(b)-\beta) \leq C \cdot \exp(\varepsilon \cdot d^n)$이 성립한다.
• 이 상계는 $f, g$가 차수 $d \geq 2$인 다항식이며, $a, b, \alpha, \beta \in \mathbb{Z}$이고, $\alpha, \beta$가 $f, g$에 대해 비예외적일 때 성립한다.
• $(f^{\circ n}(a), g^{\circ n}(b))_n$의 수열은 $\overline{\mathbb{Q}}^2$에서 일반적이라고 가정되며, 이는 조리형 조밀성과 동치이다.
• 만약 gcd가 $\eta \cdot d^n$의 비율로 증가한다면, 그러한 $n$의 집합은 유한하거나 유한 개의 산술적 등차수열의 합집합이 된다.
• 증가율 $\eta$가 정준 높이 비율과 일치할 경우, 유한 개의 산술적 등차수열 $J$를 따라 $\lim_{n \to \infty, n \in J} \frac{1}{\eta d^n} \log \gcd = 1$이 성립한다.
• 결과는 Vojta의 추측에 기반하며, 산술 동역학과 디오판틴 대수근사 이론의 고급 도구에 의존한다.