[논문 리뷰] Generalized Hermitian Codes over GF(2^r)

Stanislav Bulygin|ArXiv.org|2005. 11. 08.

Coding theory and cryptography참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 r ≥ 3인 GF(2^r) 위에서 일반화된 허미션(GH) 코드를 도입하며, 고전적 허미션 곡선의 일반화를 통해 Weierstrass 반군과 Feng-Rao 경계를 이용하여 향상된 매개변수를 갖는 코드를 구성한다. 이는 GH-코드의 이중이 또한 GH-코드임을 증명하고, GF(8) 위에서 [32,16,≥12]의 새로운 코드를 제시하여 이전까지의 최소 거리 기록을 경신한다. 이는 GH-코드가 부호 이론에서의 유용성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper we studied generalization of Hermitian function field proposed by A.Garcia and H.Stichtenoth. We calculated a Weierstrass semigroup of the point at infinity for the case q=2, r>=3. It turned out that unlike Hermitian case, we have already three generators for the semigroup. We then applied this result to codes, constructed on generalized Hermitian function fields. Further, we applied results of C.Kirfel and R.Pellikaan to estimating a Feng-Rao designed distance for GH-codes, which improved on Goppa designed distance. Next, we studied the question of codes dual to GH-codes. We identified that the duals are also GH-codes and gave an explicit formula. We concluded with some computational results. In particular, a new record-giving [32,16,>=12]-code over GF(8) was presented.

연구 동기 및 목표

• r ≥ 3인 GF(2^r) 위에서 고전적 허미션 곡선의 일반화를 통해 허미션 함수 체를 일반화하는 것.
• q=2, r≥3인 경우 GH-체에서 무한대에서의 Weierstrass 반군의 구조를 규명하는 것. 이는 고전적 경우와 달리 세 개의 생성자를 필요로 한다.
• 리만-로흐 공간을 이용하여 GH-코드를 구성하고, Feng-Rao 설계 거리 경계를 통해 그 매개변수를 분석하는 것.
• GH-코드의 이중성 성질을 조사하고, 이중이 또한 GH-코드임을 보여 이중 수직성 및 자기수직성 조건을 가능하게 하는 것.
• GF(8) 위에서 특정 GH-코드를 계산하고, Brouwer의 표에서 새로운 기록을 경신하는 부호를 식별하는 것.

제안 방법

• GF(2^r) 위에서 y^{2^{r-1}} + ... + y = x^{2^{r-1}+2^{r-2}} + ... + x^3의 형태로 허미션 곡선 방정식을 일반화하여, GH-체라고 불리는 함수 체의 가족을 정의한다.
• 가장자리 이론과 분기 이론을 적용하여 무한대에서의 극점 Q∞가 완전히 분기되어 e(Q∞|P∞) = 2^{r-1}임을 보이고, x와 y의 분해수 차수를 계산한다.
• 리만-로흐 정리를 적용하여 Weierstrass 반군에서 유도된 제약 조건을 만족하는 단항식 x^i y^j를 이용해 L(sQ∞)의 기저를 결정한다.
• 미분 이론과 Hurwitz 공식을 활용하여 (dx) = (2g−2)Q∞를 계산한다. 이는 이중성 결과에 필수적이다.
• Kirfel과 Pellikaan의 결과를 응용하여 Feng-Rao 설계 거리의 추정치를 산정하고, Goppa 경계를 초월한다.
• 계산 기반 대수 시스템(SINGULAR과 GAP)을 사용하여 생성 행렬을 구성하고 GF(8) 위의 부호에 대한 최소 거리를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GF(2^r) 위에서 r ≥ 3인 경우 허미션 함수 체를 어떻게 일반화할 수 있으며, 이러한 일반화된 체의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ2 q=2, r≥3인 경우 GH-체에서 무한대에서의 Weierstrass 반군의 구조는 무엇이며, 고전적 허미션 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 GH-코드의 Feng-Rao 설계 거리를 Goppa 경계를 초월하여 향상시킬 수 있는가? 이는 최소 거리 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 GH-코드의 이중 코드는 다시 GH-코드인가? 자기수직성 또는 자기이중성 조건은 언제 성립하는가?
• RQ5 계산적 방법을 통해 GF(8) 위에서 새로운 기록을 경신하는 부호를 도출할 수 있으며, 어떤 매개변수를 달성하는가?

주요 결과

• GF(2^r) 위에서 r≥3인 GH-체의 무한대에서의 Weierstrass 반군은 고전적 허미션 경우와 달리 세 개의 원소로 생성된다.
• GH-체의 종수는 g = 2^{r-1}(2^{r-1}−1)/2이며, 유리 점의 수는 N = 1 + 2^{2r−1}이다.
• GH-코드 GH_s의 이중은 다른 GH-코드이며, 구체적으로 GH_s^⊥ = GH_{2^{2r−1} + 2^{r-1}(2^{r-1}−1)−2−s}로 표현된다.
• GF(8) 위에서 [32,16,≥12]의 새로운 부호를 구성하였으며, 최소 거리가 12 이상임을 확보하여 이전까지의 Brouwer 표의 기록을 경신했다.
• k=16일 때, Feng-Rao 설계 거리 δ_FR(16) ≥ 12로 계산되어, 이 부호가 Goppa 경계를 초월한 강력한 오류 수정 능력을 지닌 것으로 확인되었다.
• GF(8) 위에서 [32,16,≥12]의 부호는 최소 거리가 이 정도인 것으로 알려진 첫 번째 부호로서, GF(8) 위의 선형 부호에 대한 새로운 기준을 설정한다.