[논문 리뷰] Generalized macroscopic Schrodinger equation in scale relativity

Marie-Noëlle Célérier, Laurent Nottale|ArXiv.org|2005. 05. 02.

Marine and environmental studies인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 스케일 상대성 이론에서 비가역적이고 프랙탈인 시공간 궤적(프랙탈 차원 2)을 모델링하여 일반화된 매크로스코픽 슈뢰딩거 방정식을 유도한다. 시간 반사 대칭의 붕괴를 통해 복소 속도장을 도입하고, 공변 도함수 형식을 적용함으로써, 외부 중력 포텐셜이 존재할 경우 뉴턴-슈뢰딩거 시스템으로 축소되는 슈뢰딩거 유형의 방정식을 도출한다. 이는 천체계에서 매크로스코픽 양자 유사 행동을 기하학적으로 기술할 수 있게 한다.

ABSTRACT

The scale transformation laws produce, on the motion equations of gravitating bodies and under some peculiar assumptions, effects which are anologous to those of a "macroscopic quantum mechanics". When we consider time and space scales such that the description of the trajectories of these bodies (planetesimals in the case of planetary system formation, interstellar gas and dust in the case of star formation, etc...) is in the shape of non-differentiable curves, we obtain fractal curves of fractal dimension 2. Continuity and non-differentiability yield a fractal space and a symmetry breaking of the differential time element which gives a doubling of the velocity fields. The application of a geodesics principle leads to motion equations of Schrodinger-type. When we add an outside gravitational field, we obtain a Schrodinger-Poisson system. We give here the derivation of the Schrodinger equation for chaotic systems, i.e., with time scales much longer than their Lyapounov chaos-time.

연구 동기 및 목표

• 비가역적이고 프랙탈 궤적을 갖는 시스템에 대해 스케일 상대성 원리에서 매크로스코픽 슈뢰딩거 방정식을 유도하는 것.
• 시공간의 비가역성과 프랙탈 기하학이 속도장의 이중화와 복소 동역학을 어떻게 유도하는지 설명하는 것.
• 프랙탈 변동이 존재하는 상황에서 표준 라이프니츠 법칙을 유지하기 위해 복소수를 사용한 공변 도함수 형식을 수립하는 것.
• 외부 중력 포텐셜이 도입될 경우 결과 방정식이 뉴턴-슈뢰딩거 시스템으로 축소되는 것을 보여주는 것.
• 행성 및 항성 형성과 같은 천체계에서 자가조직화된 구조의 발생을 기하학적이고 스케일 의존적인 프레임워크로 이해하는 것.

제안 방법

• 프랙탈 차원 2를 갖는 프랙탈 다양체로 시공간을 모델링하여, 비가역적이고 무한한 기하궤적을 유도한다.
• 스케일에 의존하는 속도장 V[x(t,dt), t, dt]를 정의하며, 고전적 성분과 발산하는 변동 성분 w로 분해한다. 통계적 성질은 <w_i> = 0 및 <w_i w_j> = δ_ij (2𝒟/dt)이다.
• 시간 반사에 대한 두 속도장 V_+와 V_-를 정의하여, 복소 속도 연산자 d̸/dt = ∂/∂t + V̂·∇를 도입한다. 여기서 V̂ = V - i𝒟∇이다.
• 대칭적 곱셈 또는 수정된 복소 속도를 사용하여 공변 도함수를 구성함으로써, 곱셈에 대한 표준 일阶 라이프니츠 법칙을 복원한다.
• 라그랑지안 형식을 적용하여 스케일 상대성의 오일러-라그랑주 방정식을 도출하고, 기하궤적 방정식과 포텐셜 Φ가 포함된 뉴턴 유형의 방정식을 유도한다.
• 복소 파동함수 ψ = e^{i𝒮/𝒮₀}를 정의하고, 𝒮₀ = 2m𝒟로 대입하여 일반화된 슈뢰딩거 방정식 𝒟²Δψ + i𝒟 ∂ψ/∂t = (Φ/2m)ψ를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역적이고 프랙탈인 시공간 궤적은 어떻게 매크로스코픽 시스템에서 양자 유사 행동을 유도하는가?
• RQ2 시간 반사 대칭이 깨진 비가역적이고 프랙탈인 시공간 프레임워크에서 공변 도함수의 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 스케일 상대성에 의해 복소 속도장이 도입될 경우, 매크로스코픽 시스템에 대해 어떤 슈뢰딩거 유형의 방정식이 도출되는가?
• RQ4 스케일 상대성 프레임워크에 외부 중력 포텐셜이 포함될 경우 슈뢰딩거 방정식의 형태는 어떻게 되는가?
• RQ5 유도된 방정식은 어떻게 행성 및 항성 형성과 같은 천체적 맥락에서 자가조직화된 구조의 형성을 기술하는가?

주요 결과

• 유도된 일반화된 슈뢰딩거 방정식은 𝒟²Δψ + i𝒟 ∂ψ/∂t = (Φ/2m)ψ이며, 외부 포텐셜 Φ가 존재할 경우 뉴턴-슈뢰딩거 시스템으로 축소된다.
• 프랙탈 차원 D_F = 2는 분산이 2𝒟/dt 비례하는 발산하는 변동장으로 이어지며, 이는 속도 변동의 확률적 성격을 보장한다.
• 수정된 속도 V̂ = V - i𝒟∇를 사용할 경우, 복소 속도 연산자 d̸/dt는 곱셈에 대한 표준 일계 라이프니츠 법칙을 유지한다.
• 𝒮₀ = 2m𝒟로 정의된 파동함수 ψ = e^{i𝒮/𝒮₀}는 매크로스코픽 근사에서 슈뢰딩거 방정식의 정규화와 물리적 척도를 올바르게 보장한다.
• 유도된 방정식은 확률 밀도가 시스템을 구조화함으로써, 행성 및 항성 형성 과정에서의 자가조직화를 설명한다.
• 이 이론은 매크로스코픽 시스템이 프랙탈 시공간 기하학과 비가역성으로 인해 양자 유사 행동을 나타내는 기하학적이고 스케일 의존적인 프레임워크를 제공한다.