[논문 리뷰] Generalized Quantum Signal Processing

Danial Motlagh, Nathan Wiebe|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 양자 신호 처리(GQSP)를 소개한다. GQSP는 표준 QSP의 제한된 기저 회전 대신 일반적인 SU(2) 회전을 사용함으로써, |P| ≤ 1 조건 하에 유니터리 다항식의 보편적 근사가 가능하도록 하는 프레임워크이다. 알려진 P와 Q에 대해 재귀적인 각도 찾기 공식을 제공하며, 오직 P만 알려진 경우에 효율적인 GPU 최적화 알고리즘을 통해 각도를 계산하여 10⁷ 이상의 차수를 가진 다항식을 1분 이내에 도달한다.

ABSTRACT

Quantum Signal Processing (QSP) and Quantum Singular Value Transformation (QSVT) currently stand as the most efficient techniques for implementing functions of block encoded matrices, a central task that lies at the heart of most prominent quantum algorithms. However, current QSP approaches face several challenges, such as the restrictions imposed on the family of achievable polynomials and the difficulty of calculating the required phase angles for specific transformations. In this paper, we present a Generalized Quantum Signal Processing (GQSP) approach, employing general SU(2) rotations as our signal processing operators, rather than relying solely on rotations in a single basis. Our approach lifts all practical restrictions on the family of achievable transformations, with the sole remaining condition being that $|P|\leq 1$, a restriction necessary due to the unitary nature of quantum computation. Furthermore, GQSP provides a straightforward recursive formula for determining the rotation angles needed to construct the polynomials in cases where $P$ and $Q$ are known. In cases where only $P$ is known, we provide an efficient optimization algorithm capable of identifying in under a minute of GPU time, a corresponding $Q$ for polynomials of degree on the order of $10^7$. We further illustrate GQSP simplifies QSP-based strategies for Hamiltonian simulation, offer an optimal solution to the $ε$-approximate fractional query problem that requires $O(\frac{1}δ + \log(\large\frac{1}ε))$ queries to perform where $O(1/δ)$ is a proved lower bound, and introduces novel approaches for implementing bosonic operators. Moreover, we propose a novel framework for the implementation of normal matrices, demonstrating its applicability through the development of a new convolution algorithm that runs in $O(d \log{N} + \log^2N)$ 1 and 2-qubit gates for a filter of lengths $d$.

연구 동기 및 목표

• 기존 QSP가 특정 기수성에 국한되고 복잡한 LCU 분해를 필요로 하는 등의 제약을 극복하기 위해.
• QSP 기반 알고리즘에서 선형 단위수의 조합(LCU)이 필요 없도록 하기 위해, 일반화된 SU(2) 회전을 통해 임의의 다항식 근사를 가능하게 하기 위해.
• 기존에 복잡하고 직관적이지 않은 QSP의 단계 각도 계산을 단순화하기 위해, 알려진 P와 Q에 대해 재귀 공식을 도입하기 위해.
• 오직 목표 다항식 P만 알려진 경우에 효율적인 최적화 알고리즘을 개발하여 고차수 다항식 합성에 실용적인 시간 내에 도달하기 위해.
• QSP를 분수 쿼리 알고리즘, 큐비트라이제이션을 통한 효율적 하미르토니안 시뮬레이션, 그리고 컨volution 연산을 위한 순환행렬과 대각행렬의 합성 등 새로운 응용 분야로 확장하기 위해.

제안 방법

• 표준 QSP가 Z- 또는 X-기저의 회전에 의존하는 것을 일반적인 SU(2) 회전으로 대체함으로써 표현력을 향상시키기 위해.
• 회전 각도로 매개변수화된 SU(2) 행렬의 곱으로 일반화된 신호 처리 변환을 수식화하여, 유니터리 행렬의 임의의 다항식 함수를 가능하게 하기 위해.
• 목표 다항식 P와 그 동반 다항식 Q가 모두 알려진 경우에 각도를 계산하는 재귀 공식을 유도하여 다항식 합성 과정을 단순화하기 위해.
• 오직 P만 주어진 경우에 Q와 해당 각도를 계산하기 위한 GPU 가속 최적화 알고리즘을 제안하여, 10⁷ 이상의 차수를 가진 다항식 합성에 1분 이내에 도달하기 위해.
• 큐비트라이제이션을 통한 하미르토니안 시뮬레이션에 GQSP를 적용하여, O(1/δ + log(1/ε))의 쿼리 복잡도로 분수 쿼리 문제의 최적 해법을 단순화하고 제공하기 위해.
• 푸리에 대각화 이후 순환행렬의 다항식 표현을 활용하여, 1- 및 2 큐비트 게이트 O(d log N + log² N)로만 컨볼루션 연산을 구현하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정 기저의 회전을 초월하여, |P| ≤ 1 조건 하에 보편적 근사가 가능한 유니터리 다항식을 얻을 수 있는가?
• RQ2 목표 다항식 P는 알려져 있지만 Q는 알려져 있지 않은 경우, QSP의 단계 각도 계산을 어떻게 단순화할 수 있는가?
• RQ3 GQSP는 하미르토니안 시뮬레이션 및 분수 쿼리와 같은 양자 알고리즘의 최적 및 단순화된 구현을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 GQSP는 정규 행렬, 특히 대각행렬과 순환행렬에 대해 QSVT를 확장할 잠재력을 지닐 수 있는가?
• RQ5 GQSP는 다변수 QSP에 적응하거나 비제곱 행렬에 대해 비제곱 행렬의 양자 특이값 변환으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• GQSP는 |P| ≤ 1 조건 하에 임의의 유니터리 행렬의 다항식 함수에 대해 보편적 근사를 가능하게 하며, 이전의 기수성 및 분해 제약 조건을 제거한다.
• 알려진 P와 Q에 대해 재귀적인 각도 찾기 공식은 원하는 다항식의 합성을 단순화하여 QSP의 접근성과 계산 가능성을 높인다.
• GPU 최적화 알고리즘은 차수 >10⁷인 다항식의 각도를 1분 이내에 계산하여 이전 방법이 약 10⁴ 차수로 제한되던 것에 비해 현저히 뛰어난 성능을 발휘한다.
• GQSP는 ε-근사 분수 쿼리 문제에 대해 O(1/δ + log(1/ε))의 쿼리 복잡도로 최적의 해법을 제공하며, 이는 O(1/δ)의 이론적 하한선과 정확히 일치한다.
• 이 방법은 1- 및 2 큐비트 게이트 O(d log N + log² N)로만 구성된 효율적인 컨볼루션을 가능하게 하여 이산 컨볼루션 시스템을 해결하는 확장 가능한 접근법을 제공한다.
• GQSP는 큐비트라이제이션 기반 하미르토니안 시뮬레이션의 단순화되고 최적의 공식화를 가능하게 하며, 푸리에 기저에서의 다항식 분해를 통해 직접적으로 대각행렬과 순환행렬을 합성할 수 있다.