[논문 리뷰] Generalized toric varieties for simple non-rational convex polytopes

Fiammetta Battaglia, Elisa Prato|arXiv (Cornell University)|2000. 04. 11.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 복소 쿼시폴드와 쿼시토리의 개념을 사용하여 단순하지만 비유리성의 볼록 다면체에 대해 일반화된 토릭 다양체를 도입한다. 복소 몫을 통한 켈러 쿼시폴드의 구축은 기존의 표준 토릭 다양체를 일반화한다. 이는 비유리성 다면체일지라도도 복소와 심플렉틱 기하학이 일치하는 Kähler 쿼시폴드를 형성함을 증명한다.

ABSTRACT

We call complex quasifold of dimension k a space that is locally isomorphic to the quotient of an open subset of the space C^k by the holomorphic action of a discrete group; the analogue of a complex torus in this setting is called a complex quasitorus. We associate to each simple polytope, rational or not, a family of complex quasifolds having same dimension as the polytope, each containing a dense open orbit for the action of a suitable complex quasitorus. We show that each of these spaces M is diffeomorphic to one of the symplectic quasifolds defined in http://arXiv.org/abs/math:SG/9904179, and that the induced symplectic structure is compatible with the complex one, thus defining on M the structure of a Kaehler quasifold. These spaces may be viewed as a generalization of the toric varieties that are usually associated to those simple convex polytopes that are rational.

연구 동기 및 목표

• 표준 방법이 비유리성으로 인해 실패하는 비유리성 볼록 다면체를 초월해 토릭 다양체의 구축을 확장하기 위해.
• 비유리성 다면체를 모델링할 수 있는 새로운 종류의 복소 기하 대상—복소 쿼시폴드—를 정의하기 위해.
• 복소 쿼시폴드와 심플렉틱 쿼시폴드 사이의 대응 관계를 미분형식을 통한 동치 미분형식을 통해 확립하여 복소 및 심플렉틱 기하학적 구조를 유지하기 위해.
• 결과적으로 얻어진 공간이 켈러 기하학적 구조를 갖는다는 것을 보여주어 고전적 켈러 토릭 다양체의 프레임워크를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 복소 다각형의 일반화로서 복소 다각형을 C^n에서의 이산 해석적 군 작용에 의한 몫으로 정의한다.
• 이 기하학에서 토리의 자연스러운 대체물로 복소 쿼시토리를 도입한다. 이는 조밀한 열린 궤도를 가진다.
• 다면체의 면 수인 d에 따라 C^d의 열린 부분집합에서 부분군 N_C ⊂ T^d_C = C^d / Z^d에 의한 위상적 몫으로서 복소 쿼시폴드 M을 구성한다.
• 복소 몫 구성 M = C^d_Δ / N_C를 사용하여 차원 n인 컴팩트 복소 쿼시폴드의 가족을 정의한다.
• 각 M이 이산 군 작용에 의한 C^n의 국소 해석적 동형사상과 동치임을 증명하여 복소 쿼시폴드의 공리계를 만족함을 보인다.
• 이전 연구에서 얻어진 심플렉틱 쿼시폴드와의 등변 미분형식 χ를 확립하여 복소 및 심플렉틱 기하학적 구조의 호환성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유리성 볼록 다면체에 대해 유리성 가정을 피하는 기하학적 프레임워크를 사용하여 토릭 다양체를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 비유리성 다면체에 대해 복소 기하학적 구조와 심플렉틱 기하학적 구조를 동시에 갖는 하나의 기하 대상으로서 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ3 비유리성 다면체에 대해 모멘트 맵을 통한 복소 쿼시폴드와 심플렉틱 쿼시폴드 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 비유리성 다면체에서 유도된 복소 쿼시폴드에 켈러 기하학적 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ5 복소 쿼시토리의 역할은 일반화된 토릭 공간에 대해 어떻게 기능하며, 기존 토리 작용을 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 이 구축은 비유리성 여부에 관계없이 임의의 단순 볼록 다면체 Δ ⊂ d*에 대해 차원 n인 컴팩트 복소 쿼시폴드의 가족을 제공한다.
• 각 복소 쿼시폴드 M은 조밀한 열린 궤도를 가지며 복소 쿼시토리 D_C에 대한 해석적 작용을 갖는다. 이는 표준 토릭 기하학에서의 토리 작용을 일반화한다.
• 복소 쿼시폴드 M은 [P]에서의 심플렉틱 쿼시폴드와 등변 미분형식 χ를 통해 미분형식이 유지되는 동치를 갖는다.
• M에 유도된 심플렉틱 기하학적 구조는 복소 기하학적 구조와 호환되며, M이 Kähler 쿼시폴드의 구조를 갖는다.
• M의 켈러 형식은 유니버설 커버에서의 명시적 미분형식으로 국소적으로 주어지며 전이 함수에 대해 올바르게 변환된다.
• 구간 [0,1]의 예시에서 복소 몫이 쿼시스피어와 미분형식이 동치임을 보이고, 켈러 형식을 명시적으로 계산하여 불변성과 호환성을 검증하였다.