[논문 리뷰] Generalizing the Kawaguchi-Kyan bound to stochastic parallel machine scheduling

Sven Jäger, Martin Skutella|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 03.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 작업 처리 시간이 난수인 확률적 병렬 기계 스케줄링 환경에서 가중 평균 처리 시간(WSEPT) 규칙의 성능 보장을 향상시킨다. 이는 $1 + \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1)(1 + \Delta)$의 더 날카운 approximation 비율을 도출하며, 이는 고전적인 Kawaguchi-Kyan bound를 확률적 설정으로 일반화한 것으로, $\Delta \to 0$일 때의 극한에서 결정론적 WSPT 비율과 일치한다. 결과는 정교한 최악의 경우 인스턴스 분석과 유한한 $m$에 대한 성능 비율 정확한 특성화를 통해 도출된다.

ABSTRACT

Minimizing the sum of weighted completion times on $m$ identical parallel machines is one of the most important and classical scheduling problems. For the stochastic variant where processing times of jobs are random variables, M\"ohring, Schulz, and Uetz (1999) presented the first and still best known approximation result achieving, for arbitrarily many machines, performance ratio $1+\frac12(1+\Delta)$, where $\Delta$ is an upper bound on the squared coefficient of variation of the processing times. We prove performance ratio $1+\frac12(\sqrt{2}-1)(1+\Delta)$ for the same underlying algorithm---the Weighted Shortest Expected Processing Time (WSEPT) rule. For the special case of deterministic scheduling (i.e., $\Delta=0$), our bound matches the tight performance ratio $\frac12(1+\sqrt{2})$ of this algorithm (WSPT rule), derived by Kawaguchi and Kyan in a 1986 landmark paper. We present several further improvements for WSEPT's performance ratio, one of them relying on a carefully refined analysis of WSPT yielding, for every fixed number of machines $m$, WSPT's exact performance ratio of order $\frac12(1+\sqrt{2})-O(1/m^2)$.

연구 동기 및 목표

• 가중 완료 시간을 고려한 확률적 병렬 기계 스케줄링에 대한 상수 요소 근사 알고리즘이 부족한 문제를 해결한다.
• 이전에 $1 + \frac{1}{2}(1 + \Delta)$로 알려진 확률적 설정에서 WSEPT 규칙의 최고 성능 비율을 향상시킨다.
• 처리 시간이 유한한 제곱 계수 변동도 $\Delta$를 가진 난수 변수인 경우, 결정론적 Kawaguchi-Kyan bound를 확률적 경우로 일반화한다.
• 유한한 $m$에 대해 WSEPT의 더 날카운 기계에 의존하는 성능 비율을 제공하며, $m \to \infty$일 때 최적의 결정론적 bound로 수렴하도록 한다.
• 유한한 $m$에 대해 정확한 최악의 경우 성능 비율을, 개선된 인스턴스 파rameter 클래스 분석을 통해 규명한다.

제안 방법

• 장기 작업 $k_m$개와 한 개의 단기 작업을 포함하는 새로운 최악의 경우 인스턴스 구성법을 제안하며, $k_m = \left\lfloor \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)m \right\rfloor$로 매개변수화한다.
• 처리 시간 $x$, 장기 작업 수 $k$, 기계 수 $m$에 따라 성능 비율 $\lambda_m(x, k)$를 분석하고, $x$와 $k$에 대해 최적화한다.
• 각 $m$에 대해 최악의 $k$를 결정하기 위해 단변수 함수 $\lambda''_m(k) = 1 + \frac{\sqrt{(2m - k)k - k}}{2m}$를 유도한다.
• 최적의 $k_m$가 $[u_m - 1/2, u_m + 1/2]$ 구간 내에 있음을 증명하며, 이는 볼록성과 유일성을 보장한다. 여기서 $u_m = m - \frac{\sqrt{2m^2 - 1}}{2}$이다.
• $m \to \infty$일 때의 극한을 고려하여 복잡한 케이스 분류 없이도 고전적인 Kawaguchi-Kyan bound $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$를 회복한다.
• 유한한 $m$에 대해 $1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{(2m - k_m)k_m - k_m}}{m}(1 + \Delta)$의 닫힌 형태 성능 비율을 확립하며, 이는 이전의 근사치를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 $m$과 유한한 제곱 계수 변동도 $\Delta$를 가진 확률적 병렬 기계 스케줄링에서 WSEPT 규칙이 달성할 수 있는 가장 날카운 성능 비율은 무엇인가?
• RQ2 기계 수 $m$이 증가함에 따라 WSEPT의 성능 비율은 어떻게 변화하며, 결정론적 WSPT bound로 수렴하는가?
• RQ3 고전적인 Kawaguchi-Kyan bound가 결정론적 스케줄링에 대해 성립하는 것을, 처리 시간이 난수인 확률적 설정으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 고정된 유한한 기계 수 $m$에 대해 WSEPT의 정확한 최악의 경우 성능 비율은 무엇인가?
• RQ5 기계 수 $m$이 고정되어 있을 때 $\Delta$가 증가하더라도 WSEPT에 대해 $\Delta$에 독립적인 상수 성능 비율이 존재하는가?

주요 결과

• WSEPT 규칙은 $1 + \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1)(1 + \Delta)$의 성능 비율을 달성하며, 이는 이전의 $1 + \frac{1}{2}(1 + \Delta)$ 보다 엄밀히 향상된 것이다.
• 특수한 결정론적 스케줄링의 경우($\Delta = 0$)에 신규 bound는 $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$로 축소되며, 이는 Kawaguchi와 Kyan(1986)이 도출한 날카운 결정론적 WSPT 비율과 일치한다.
• 성능 비율은 $m \to \infty$일 때 최적의 결정론적 bound $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$로 수렴하며, 수렴 속도는 $O(1/m^2)$이다.
• 임의의 고정된 $m$에 대해 WSEPT의 정확한 최악의 경우 성능 비율은 $1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{(2m - k_m)k_m - k_m}}{m}(1 + \Delta)$로 주어지며, 여기서 $k_m = \left\lfloor \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)m \right\rfloor$이다.
• 논문은 성능 비율이 $k_m$에서 최소화됨을 규명하였으며, 이 값은 $[u_m - 1/2, u_m + 1/2]$ 구간 내에 위치해 있어 유도된 bound의 최적성 보장한다.