[논문 리뷰] Generating functions for K-theoretic Donaldson invariants and Le Potier's strange duality

Lothar Göttsche, Yuan Yao|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 벽을 넘는 공식과 타우 함수를 사용하여 $\mathbb{P}^2$, $\ mathbb{P}^1 \times \u005c mathbb{P}^1$, 및 $\ widehat{\u005c mathbb{P}}^2$와 같은 유리 표면 위에서 K-이론적 Donaldson 불변량의 생성함수를 계산한다. 특히 질서 2와 질서 0의 층 클래스에 대해 Le Potier의 이상한 dualty를 증명하여, 모듈리 공간 위의 결정선다발의 절단 공간들 사이의 동형사상을 확립한다.

ABSTRACT

K-theoretic Donaldson invariants are holomorphic Euler characteristics of determinant line bundles on moduli spaces of sheaves on surfaces. We compute generating functions of K-theoretic Donaldson invariants on the projective plane and rational ruled surfaces. We apply this result to prove some cases of Le Potier's strange duality.

연구 동기 및 목표

• 유리 표면 위의 층 모듈리 공간에 대한 K-이론적 Donaldson 불변량의 생성함수를 계산한다.
• 쌍대 모듈리 공간 위의 결정선다발의 코homology를 연결하는 Le Potier의 이상한 dualty 추측의 특정 케이스를 확립한다.
• 블로우업 공식을 확장하고 생성함수의 모듈라리티 및 소멸 성질을 분석한다.
• 특정 층 클래스: $c = (2,0,c_2)$ 및 $c^* = (0,L,\chi=0)$ ($L = -K_X$ 또는 $-K_X + F$), 그리고 $\ mathbb{P}^2$ 상에서 $c = (2,H,c_2)$ 및 $c^* = (0,2H,\chi=-1)$ 에 대해 이상한 dualty를 검증한다.
• 큰 $c_2$ 에서 이상한 dualty 사상이 극성에 독립적임을 보이고 사상의 전성함을 증명함으로써, 이 사상이 동형사상임을 보여준다.

제안 방법

• 논문 [11]의 벽을 넘는 공식을 사용하여 $\ mathbb{P}^2$ 와 유리 룰드 표면 위에서 K-이론적 Donaldson 불변량의 생성함수를 계산한다.
• 특히 $d = 4c_2 - c_1^2$ 인 클래스에 대해 타우 함수와 모듈라 형식을 사용하여 생성함수를 표현한다.
• 벽을 넘는 과정에서 다항식성과 소멸 결과를 활용하여 계산을 단순화하고 생성함수의 모듈라리티를 증명한다.
• 벡터 번들의 $\lambda$-구성법을 사용하여 $K(X)$의 클래스에 관련된 모듈리 공간 $M_H^X(c)$ 위에 결정선다발 $\mathcal{D}_{c,c^*}$ 를 구성한다.
• 블로우업 공식과 확장 기법을 적용하여 $\ widehat{\u005c mathbb{P}}^2$ 상의 불변량을 $\ mathbb{P}^2$ 상의 불변량과 연결함으로써 재귀적 계산을 가능하게 한다.
• 소멸 정리와 코homological 기준(예: $H^0(\mathcal{E}^i_2 \otimes \mathcal{G}^j) = 0$ iff $i = j$)을 적용하여 이상한 dualty 사상의 전성함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리 표면인 $\ mathbb{P}^2$ 와 유리 룰드 표면 상에서 K-이론적 Donaldson 불변량의 생성함수는 무엇인가?
• RQ2 벽을 넘는 공식과 타우 함수는 이러한 불변량의 계산을 어떻게 지원하는가?
• RQ3 Le Potier의 이상한 dualty는 $\ mathbb{P}^2$ 와 $\ mathbb{P}^1 \times \u005c mathbb{P}^1$ 상의 질서 2 및 질서 0 층 모듈리 공간에 대해 성립하는가?
• RQ4 이상한 dualty 사상 $SD_{c,c^*}$ 의 구조는 어떻게 되며, 언제 동형사상이 되는가?
• RQ5 이 불변량들은 극성 $H$ 의 선택에 얼마나 의존하는가?

주요 결과

• 유리 표면 $X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 와 $X = \widehat{\mathbb{P}}^2$ 에 대해, $\frac{a}{b} \geq \frac{n+2}{4}$ 를 만족할 경우 $\sum_{d>0} \chi(M_H^X(F,d), \mu(nF)) \Lambda^d = \frac{1}{(1 - \Lambda^4)^{n+1}}$ 이 성립한다.
• 유리 표면 $X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 에 대해, 모든 $n \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\sum_{d>0} \chi(M_H^X(0,d), \mu(nF)) \Lambda^d = \frac{1}{(1 - \Lambda^4)^{n+1}}$ 이 성립한다.
• 유리 표면 $X = \widehat{\mathbb{P}}^2$ 에 대해, $n \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}$ 일 경우 $\sum_{d>0} \chi(M_H^X(0,d), \mu(nF + G)) \Lambda^d = \frac{1}{(1 - \Lambda^4)^{2n+2}}$ 이 성립한다.
• Le Potier의 이상한 dualty는 $c = (2,0,c_2)$ 와 $c^* = (0,L,\chi=0)$ ($L = -K_X$ 또는 $-K_X + F$) 에 대해 성립하며, $c_2 \geq 2$ 일 경우 이상한 dualty 사상 $SD_{c,c^*}^g$ 는 전성함이다.
• $X = \mathbb{P}^2$ 에서 $c = (2,H,c_2)$, $c^* = (0,2H,\chi=-1)$ 일 경우, 이상한 dualty 사상 $SD_{c,c^*}$ 는 전성함이며, 큰 $c_2$ 에서 생성함수는 극성에 대해 독립적이다.
• 생성함수가 벽을 넘는 과정과 극성 선택에 대해 불변이므로, $c_2 \gg 0$ 에서 이상한 dualty 사상은 동형사상이다.