[논문 리뷰] Geodesic incompleteness in the CP^1 model on a compact Riemann surface

Lorenzo Sadun, Martin Speight|ArXiv.org|1997. 07. 18.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소 평면 CP^1 모델에서 컴act 리만 곡면 위의 정적 해의 모듈리 공간이 운동 에너지 계량에서 지오데식적으로 완비되지 않음을 증명한다. 이는 지오데식 근사에서 랩 솔리톤이 유한한 시간 내에 특이점으로 붕괴할 수 있음을 시사한다. 이 결과는 곡면 시공간 배경에서 랩의 고전적 역학에 근본적인 붕괴를 보여준다.

ABSTRACT

It is proved that the moduli space of static solutions of the CP^1 model on spacetime Sigma x R, where Sigma is any compact Riemann surface, is geodesically incomplete with respect to the metric induced by the kinetic energy functional. The geodesic approximation predicts, therefore, that lumps can collapse and form singularities in finite time in these models.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 리만 곡면 위의 CP^1 모델에서 정적 해의 모듈리 공간의 기하학적 구조를 분석한다.
• 운동 에너지 함수에 의해 유도된 계량이 모듈리 공간을 지오데식적으로 완비하게 하는지 조사한다.
• 지오데식 완비성의 역학적 함의를 랩 솔리톤 진동에 대해 규명한다.
• 이러한 모델에서 지오데식 근사 하에 특이점이 유한한 시간 내에 형성될 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• 콤팩트 리만 곡면 Σ 위의 CP^1 모델에 대한 정적 해의 모듈리 공간을 구성한다.
• 장 이론의 운동 에너지 함수에 의해 유도된 계량을 모듈리 공간에 부여한다.
• 미분기하학 기법을 사용하여 이 리만 다양체에서 지오데식의 완비성을 분석한다.
• 일부 지오데식이 유한한 매개변수 시간 내에 끝나므로, 완비성이 결여되어 있음을 입증한다.
• 리만 기하학의 결과를 적용하여, 불완비한 지오데식은 유한한 시간 내 특이점 형성을 암시함을 보여준다.
• 지오데식 근사를 사용하여 이 모델에서 랩 솔리톤의 역학적 행동을 추론한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트 리만 곡면 위의 CP^1 모델에서 정적 해의 모듈리 공간은 운동 에너지 계량 하에 지오데식적으로 완비되는가?
• RQ2 이 모델에서 지오데식 불완비성의 역학적 결과는 무엇인가?
• RQ3 CP^1 모델의 랩 솔리톤은 유한한 시간 내에 특이점으로 붕괴할 수 있는가?
• RQ4 리만 곡면 Σ의 위상수학적 성질은 모듈리 공간의 완비성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 지오데식 근사는 이 양자장 이론에서 얼마나 유한한 시간 내 특이점 형성을 예측하는가?

주요 결과

• 콤팩트 리만 곡면 위의 CP^1 모델에서 정적 해의 모듈리 공간은 운동 에너지 함수에 의해 유도된 계량 하에 지오데식적으로 완비되지 않는다.
• 모듈리 공간의 지오데식은 유한한 매개변수 시간 내에 끝날 수 있으며, 이는 불완비한 경로의 존재를 시사한다.
• 이 지오데식 불완비성은 지오데식 근사 하에 랩 솔리톤이 유한한 시간 내에 특이점으로 붕괴할 수 있음을 암시한다.
• 이 결과는 곡면의 종수에 관계없이 모든 콤팩트 리만 곡면 Σ에 대해 성립한다.
• 지오데식 완비성의 실패는 랩의 고전적 역학의 붕괴를 시사하며, 특이 구성이 형성됨을 암시한다.
• 분석 결과, 콤팩트 리만 곡면 위의 CP^1 모델은 지오데식 근사 프레임워크에서 유한한 시간 내 특이점 형성을 보여준다.