[论文解读] Geometric constant term functor(s)

Vladimir Drinfeld, Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文通过使用对偶 parabolic 子群，在曲线上的 G-主丛模堆的几何自守形式范畴中，建立了 !-常数项函子与 *-常数项函子之间的典范同构。它通过证明 !-函子是良定义的，并且对偶 parabolic 的常数项函子之间存在典范同构，解决了在 D-模的导范畴中定义左伴随函子时的基础性问题，从而统一了几何 Langlands 理论中的 Eisenstein 与常数项构造。

ABSTRACT

We study the Eisenstein series and constant term functors in the framework of geometric theory of automorphic functions. Our main result says that for a parabolic P in G with Levi quotient M, the !-constant term functor CT_!:D-mod(Bun_G)-> D-mod(Bun_M) is canonically isomorphic to the *-constant term functor CT^-_*:D-mod(Bun_G) o D-mod(Bun_M), taken with respect to the opposite parabolic P^-.

研究动机与目标

• 解决在几何 Langlands 程序中定义左伴随函子（例如 Eis_! 和 CT_!）时的基础性问题。
• 在 parabolic 子群上确立 !-常数项函子 CT_! 在 D-mod(Bun_G) 上的良定义性。
• 证明 parabolic P 的 !-常数项函子与其中对偶 parabolic P⁻ 的 *-常数项函子之间存在典范同构。
• 通过 duality 与 parabolic 子群的对偶性，统一几何设定下的 Eisenstein 与常数项函子。
• 利用 D-模 on 捆绑模堆的几何框架，为常数项与 Eisenstein 级数函子提供基础。

提出的方法

• 利用涉及 Bun_P^μ → Bun_M^μ ← Bun_G 的基本图表，通过拉回-推出操作定义函子。
• 沿光滑且准紧致的态射应用 !-拉回与 !-推出，以定义 Eis_! 与 CT_! 函子。
• 利用 q: Bun_P^μ → Bun_M^μ 是光滑且安全的这一事实，确保 q_! 与 q^* 的良好行为。
• 通过基变换与紧致性论证，将 P 上的 !-函子与 P⁻ 上的 *-函子通过其对偶 parabolic 联系起来。
• 通过在增强半群中稳定化一个共特征的群概形 G~ 在 A¹ 上的构造，实现几何常数项函子。
• 证明商 (A¹ × G × G)/G~ 存在且为有限型的拟仿射概形，从而保证常数项函子的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几何设定下，!-常数项函子 CT_! : D-mod(Bun_G) → D-mod(Bun_M^μ) 是否良定义？
• RQ2 parabolic P 的 !-常数项函子与其中对偶 parabolic P⁻ 的 *-常数项函子之间是否存在典范同构？
• RQ3 CT_* 的左伴随函子 Eis_! 是否存在，且是否同构于通过 p_! ∘ q^* 定义的标准 Eisenstein 函子？
• RQ4 如何在 Bun_G 上 D-模的导范畴中统一常数项与 Eisenstein 函子？
• RQ5 在 D-模 on 模堆的背景下，常数项函子背后的几何结构是什么？

主要发现

• !-常数项函子 CT_! = q_! ∘ p^* 在 q^* 的本质像上良定义，解决了非全纯 D-模中的基础性问题。
• 函子 Eis_! = p_! ∘ q^* 良定义，因为 q 是光滑的，而 p 是准紧致且可表示的。
• P 的 !-常数项函子与对偶 parabolic P⁻ 的 *-常数项函子之间存在典范同构，建立了两者之间的对偶性。
• 商 (A¹ × G × G)/G~ 存在且为有限型的拟仿射概形，为常数项构造提供了几何模型。
• 群概形 G~ ⊂ A¹ × G × G 沿 A¹ → G_enh 的基变换，同构于增强半群 G_enh 中一个共特征的稳定化子。
• 通过涉及 Vinberg 半群与增强群概形 G_enh 的几何构造，建立了 CT_! 与 CT_*^opposite 之间的同构。