[논문 리뷰] Geometric construction of representations of affine algebras

Hiraku Nakajima|ArXiv.org|2002. 12. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 31인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbf{C}^2$ 위의 Hilbert 스킴에서 $\gamma$-고정점 성분의 호모로지 및 $\Gamma$-동차 $K$-호모로지에 기반하여 아핀 리 대수 및 양자 토로이드 대수의 표현을 구성하며, 이는 인stanton과 퀼리 다양체의 모듈리 공간을 통해 기하학적 실현을 제공한다. 주요 결과는 이러한 모듈리 공간의 스트라타에서의 교차 호모로지 군을 통해 기약 표현의 특성 공식을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finite subgroup of $\SL_2(\C)$. We consider $Γ$-fixed point sets in Hilbert schemes of points on the affine plane $\C^2$. The direct sum of homology groups of components has a structure of a representation of the affine Lie algebra $\ag$ corresponding to $Γ$. If we replace homology groups by equivariant $K$-homology groups, we get a representation of the quantum toroidal algebra $\Ut$. We also discuss a higher rank generalization and character formulas in terms of intersection homology groups.

연구 동기 및 목표

• 유한부분군 $\Gamma \subset \mathrm{SL}_2(\mathbf{C})$에 대응하는 아핀 리 대수 $\widehat{\mathfrak{g}}$의 표현을 $\mathbf{C}^2$ 위의 Hilbert 스킴에서 $\Gamma$-고정점 성분의 호모로지로 기하학적으로 실현하는 것.
• 등급부여된 $K$-호모로지를 사용하여 양자 토로이드 대수 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$의 표현으로 이 구성의 확장.
• 고차원 설정으로의 일반화를 제공하고, 교차 호모로지 군을 통해 특성 공식을 도출하는 것.
• 모듈리 공간의 위상수학과 $\widehat{\mathfrak{g}}$의 표현 이론을 연결함으로써 McKay 대응의 기하학적 대응을 확립하는 것.

제안 방법

• 최소 해소 $\pi: M \to \mathbf{C}^2/\Gamma$를 사용하여 예외적 분리자와 단순 리 대수 $\mathfrak{g}$의 딜린 다이어그램, 그리고 그에 따라 $\widehat{\mathfrak{g}}$를 연결하는 것.
• Γ-불변 부분스킴의 Hilbert 스킴 $\operatorname{Hilb}^n(\mathbf{C}^2)^\Gamma$를 구성하고, 그 $\Gamma$-고정점 성분을 분석하는 것.
• 기하학적 사타케 대응과 컨볼루션 대수를 통해 이러한 성분의 호모로지 군의 직합에 $\widehat{\mathfrak{g}}$-모듈러 구조를 도입하는 것.
• 호모로지를 등급부여된 $K$-호모로지로 대체하여 양자 토로이드 대수 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$의 표현을 얻는 것.
• 국소화 정리와 체르니코프 특성자를 적용하여 등급부여된 $K$-호모로지와 호모로지를 연결하고, 특성 공식을 가능하게 하는 것.
• 사상 $\pi: \mathfrak{M}(\mathbf{w})^A \to \mathfrak{M}_0(\infty,\mathbf{w})^A$에 대한 분해 정리를 적용하여 호모로지 군을 교차 코hom로지 층으로 표현하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 리 대수 $\widehat{\mathfrak{g}}$의 표현은 $\mathbf{C}^2$ 위의 $\Gamma$-불변 점들의 Hilbert 스킴에서 어떻게 기하학적으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 등급부여된 $\Gamma$-동차 $K$-호모로지의 관점에서 양자 토로이드 대수 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$의 기하학적 기원은 무엇인가?
• RQ3 모듈리 공간의 스트라타에서의 교차 호모로지 군은 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$의 기약 표현의 특성을 어떻게 캐릭터로 표현하는가?
• RQ4 표준 모듈러가 기약 몫으로 분해되는 것은 교차 호모로지 층과 같은 기하학적 자료로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• $\operatorname{Hilb}^n(\mathbf{C}^2)$의 $\Gamma$-고정점 성분의 호모로지 군의 직합은 $\Gamma$에 대응하는 아핀 리 대수 $\widehat{\mathfrak{g}}$에 자연스러운 작용을 갖는다.
• 호모로지를 등급부여된 $K$-호모로지로 대체하면, 양자 토로이드 대수 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$의 표현을 얻는다.
• 무게 $\mathbf{w}$에 대응하는 표준 모듈러는 고정점 집합 $\mathfrak{M}(\mathbf{w})^A$의 원점 위의 섬유의 호모로지와 동형이며, 이는 기본 표현들의 텐서곱의 몫이다.
• 기약 표현의 특성은 스트라타 $\mathcal{O}_y$에 대한 $i_x^!\mathrm{IC}(\mathcal{O}_y)$의 교차 호모로지와 기약 몫 $L_y$의 텐서곱의 합으로 주어진다.
• $H^*(i_x^!\mathrm{IC}(\mathcal{O}_y))$의 차원은 조합적 알고리즘을 통해 계산 가능하지만, 실질적 계산은 메모리 소모가 크다.
• $w_0 = 0$일 경우 양자 루프 대수 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\mathfrak{g}})$로 일반화가 가능하며, 표준 모듈러는 기본 표현들의 텐서곱의 분해로 표현된다.