[논문 리뷰] Geometric measures for hyperbolic sets on surfaces

Alberto A. Pinto, D.A.J. Rand|ArXiv.org|2006. 05. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 표면 위의 하이퍼볼릭 기본집합에서 호라스도르프 측도에 대해 절대연속적인 불변 측도를 갖는 경우를 고려하여, 측도 솔레노이드 함수와 코사이클 갭 쌍이라는 두 가지 새로운 불변량을 도입함으로써, 하이퍼볼릭 시스템의 모듈리 공간을 제시한다. 이는 리브시크와 시나이의 고유값 기준을 표면 위의 하이퍼볼릭 시스템으로 확장하며, 주기점의 안정 및 불안정 고유값의 집합이 이 설정에서 리프시츠 동형류를 완전히 분류함을 증명한다.

ABSTRACT

We present a moduli space for all hyperbolic basic sets of diffeomorphisms on surfaces that have an invariant measure that is absolutely continuous with respect to Hausdorff measure. To do this we introduce two new invariants: the measure solenoid function and the cocycle-gap pair. We extend the eigenvalue formula of A. N. Livsic and Ja. G. Sinai for Anosov diffeomorphisms which preserve an absolutely continuous measure to hyperbolic basic sets on surfaces which possess an invariant measure absolutely continuous with respect to Hausdorff measure. We characterise the Lipschitz conjugacy classes of such hyperbolic systems in a number of ways, for example, in terms of eigenvalues of periodic points and Gibbs measures.

연구 동기 및 목표

• 표면 위의 $C^{1+}$ 하이퍼볼릭 미분형이 호라스도르프 측도에 대해 절대연속적인 불변 측도를 갖는 모듈리 공간을 개발하는 것.
• 아노소프 시스템에 대한 리브시크-시나이 고유값 기준을 표면 위의 일반 하이퍼볼릭 기본집합으로 확장하는 것.
• 스펙트럼 불변량과 지브스 측도를 이용하여 이러한 시스템의 리프시츠 동형류를 특성화하는 것.
• 측도 솔레노이드 함수와 코사이클 갭 쌍이라는 두 가지 새로운 불변량을 도입하고, 분류 도구로 연구하는 것.
• 모듈리 공간 내에서 $C^{1+}$-호라스도르프 실현 가능한 지브스 측도와 리프시츠 동형류 사이의 일대일 대응을 확립하는 것.

제안 방법

• 안정 및 불안정 리드의 하우스도르프 차원 $\delta_s$, $\delta_u$ 가 고정된 $C^{1+}$ 하이퍼볼릭 미분형의 모듈리 공간 ${\mathcal{T}}_{f,\Lambda}(\delta_s, \delta_u)$ 를 정의한다.
• 측도 솔레노이드 함수를 동역학과 하우스도르프 측도의 구조에서 유도된 기하학적 불변량으로 정의한다.
• 코사이클 갭 쌍을 솔레노이드 함수 내의 갭 구조를 코딩하는 두 함수의 쌍으로 정의하며, 이는 동형류를 매개변수화하는 데 핵심적이다.
• 마르코프 분할과 기호 역학을 사용하여 동역학을 유한형 부분이드로 올리고, 지브스 측도의 사용을 가능하게 한다.
• 마킹 사상 $i_g$ 에 의한 측도의 투영을 통해 지브스 측도의 하우스도르프 실현을 구성한다.
• 모든 주기점의 고유값 집합이 리프시츠 동형류의 완전한 불변량임을 증명하며, 데 라 릴라브, 마르코, 모리온의 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이퍼볼릭 기본집합 $\Lambda_g$ 에서 $g$-불변 측도가 호라스도르프 측도에 대해 절대연속이 되는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ2 주기점의 고유값 집합은 표면 위의 하이퍼볼릭 미분형의 리프시츠 동형류를 어떻게 분류하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 측도 솔레노이드 함수와 코사이클 갭 쌍은 모듈리 공간 내에서 동형류를 매개변수화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 지브스 측도는 하이퍼볼릭 시스템의 표면에서 하우스도르프 실현과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 고유값 조건 $|\lambda_{g,s}(x)^{\delta_{g,s}} \lambda_{g,u}(x)^{\delta_{g,u}}| = 1$ 은 불변 측도의 절대연속성에 대한 완전한 기준으로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $C^{1+}$ 하이퍼볼릭 미분형 $g$ 가 $\Lambda_g$ 에서 $g$-불변 측도를 호라스도르프 측도에 대해 절대연속적으로 갖는다 하는 것과, 모든 주기점 $x$ 에 대해 $|\lambda_{g,s}(x)^{\delta_{g,s}} \lambda_{g,u}(x)^{\delta_{g,u}}| = 1$ 이 성립하는 것이 필요충분조건임을 증명한다.
• 모든 주기점의 안정 및 불안정 고유값 집합은 ${\mathcal{T}}_{f,\Lambda}(\delta_s, \delta_u)$ 내에서 $g$ 의 리프시츠 동형류에 대한 완전한 불변량을 이룬다.
• $C^{1+}$-호라스도르프 실현 가능한 지브스 측도 $\nu$ 와 ${\mathcal{T}}_{f,\Lambda}(\delta_s, \delta_u)$ 내의 리프시츠 동형류 사이에 일대일 대응이 존재한다.
• 코사이클 갭 쌍은 각 동형류 내의 $C^{1+}$ 자기재정렬 가능한 구조의 집합을 매개변수화하며, 이러한 쌍의 공간은 무한차원이다.
• 각 지브스 측도 $\nu$ 에 대해 $\delta_\iota$-유계 솔레노이드 동치류는 유일한 $C^{1+}$ 동형류를 결정하며, 이는 호라스도르프 측도에 대해 절대연속적인 불변 측도를 갖는 하이퍼볼릭 미분형에 해당한다.
• $C^{1+}$ 자기재정렬 가능한 구조는 유일하게 $\iota$-솔레노이드 함수에 의해 결정되며, 이러한 구조들은 공간 $\mathcal{JG}^\iota(\nu, \delta)$ 내의 코사이클 갭 쌍에 의해 매개변수화된다.