[논문 리뷰] Geometric pressure for multimodal maps of the interval

Feliks Przytycki, Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 다중모달 구간 맵에서 비균일 초구형성과 기하적 압력의 여러 개념 간의 동치성을 확립한다. 모든 주기적 궤도가 초구형 반발성일 조건 하에서 기하적 압력 함수 $ P(t) $ 는 $ (t_-, t_+) $ 에서 실해석적임을 증명하며, 이 구간의 각 $ t $ 에 대해 강력한 통계적 성질을 갖는 유일한 평형 및 동형 측도가 존재한다.

ABSTRACT

This paper is an interval dynamics counterpart of three theories founded earlier by the authors, S. Smirnov and others in the setting of the iteration of rational maps on the Riemann sphere: the equivalence of several notions of non-uniform hyperbolicity, Geometric Pressure, and Nice Inducing Schemes methods leading to results in thermodynamical formalism. We work in a setting of generalized multimodal maps, that is smooth maps f of a finite union of compact intervals in R into R with non-flat critical points, such that on its maximal forward invariant set K the map f is topologically transitive and has positive topological entropy. We prove that several notions of non-uniform hyperbolicity of f|_K are equivalent (including uniform hyperbolicity on periodic orbits, TCE & all periodic orbits in K hyperbolic repelling, Lyapunov hyperbolicity, and exponential shrinking of pull-backs). We prove that several definitions of geometric pressure P(t), that is pressure for the map f|_K and the potential - t log |f'|, give the same value (including pressure on periodic orbits, "tree" pressure, variational pressures and conformal pressure). Finally we prove that, provided all periodic orbits in K are hyperbolic repelling, the function P(t) is real analytic for t between the "condensation" and "freezing" parameters and that for each such t there exists unique equilibrium (and conformal) measure satisfying strong statistical properties.

연구 동기 및 목표

• 리만 구면 위의 유리 함수에 대한 열역역학 체계 결과를 일반화된 다중모달 맵으로 확장하여 일차원 동역학에 적용한다.
• 일차원 설정에서 다양한 비균일 초구형성 정의 간의 통합과 동치성 증명.
• 최대 구간 $ (t_-, t_+) $ 에서 기하적 압력 $ P(t) $ 의 해석성 확립, 여기서 $ t_- $ 와 $ t_+ $ 는 응축 및 freezing 매개변수이다.
• $ t \in (t_-, t_+) $ 에 대해 평형 측도와 동형 측도의 존재성 및 유일성 증명 및 강력한 통계적 성질 확보.
• 압력의 해석성과 측도 존재성을 보장하기 위해 원래 맵과 유도된 맵 간의 연결을 위한 우아한 유도 체계 개발 및 적용.

제안 방법

• 비평탄 비판점이 있는 일반화된 다중모달 맵의 범주 내에서 작업: $ \widehat{I} $ 는 컴acts 구간의 유한한 합집합이며, $ f: \widehat{I} \to \mathbb{R} $ 는 매끄러운 맵.
• 최대 전방 불변 집합 $ K \subset \widehat{I} $ 정의, 여기서 $ f|_K $ 는 위상적 전이성과 양의 위상 엔트로피를 갖는다.
• '우아한 유도 체계' 개념을 사용하여 좋은 집합 위에 표준 유도 맵을 구성함으로써, 유도 시스템을 통한 압력 계산 가능.
• 기하적 압력 정의 간의 동치성 증명: 주기적 궤도에서의 압력, '나무' 압력, 변분 압력, 동형 압력.
• 유도 체계를 적용하여 유도 맵의 해석성 성질을 원래 맵으로 이 trasfer하며, 후방 동형 압력과 패트릭슨-수얼링 유사 구성 방법을 사용.
• 유도 방법을 통해 평형 측도의 존재성 증명하고, 이것이 강력한 통계적 성질을 갖는 동형 측도임을 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 다중모달 구간 맵에서 비균일 초구형성의 다양한 개념—예를 들어 주기적 궤도에서의 균일 초구형성, TCE, 리아풀로프 초구형성, 그리고 당김의 지수적 수축—은 동치인가?
• RQ2 압력이 주기적 궤도에서의 압력, 나무 압력, 변분 압력, 동형 압력으로 정의된 기하적 압력 $ P(t) $ 는 $ f|_K $ 와 잠재력 $ -t\log|f'| $ 에 대해 동일한 값을 갖는가?
• RQ3 기하적 압력 함수 $ P(t) $ 는 $ t_- $ 와 $ t_+ $ 가 응축 및 freezing 매개변수인 전체 구간 $ (t_-, t_+) $ 에서 실해석적인가?
• RQ4 $ t \in (t_-, t_+) $ 에 대해 평형 측도가 존재하고 이것이 동형이며 강력한 통계적 성질을 만족하는가?
• RQ5 유도된 도함수의 성장 조건이나 천천히 재귀하는 조건을 가정하지 않고, 주기적 궤도에서의 초구형 반발 조건만으로 동형 측도의 존재성 및 유일성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 주기적 궤도가 $ K $ 에서 초구형 반발성일 조건은 주기적 궤도에서의 균일 초구형성, TCE, 리아풀로프 초구형성, 당김의 지수적 수축과 동치이다.
• 기하적 압력 $ P(t) $ 는 개구간 $ (t_-, t_+) $ 에서 실해석적이며, $ t_- $ 와 $ t_+ $ 는 각각 응축 및 freezing 매개변수이다.
• $ t \in (t_-, t_+) $ 에 대해 잠재력 $ -t\log|f'| $ 에 대해 평형 측도와 동형 측도가 각각 존재하고 유일하다.
• 유일한 평형 측도는 지수적 상관관계 감소 및 중심극한정리와 같은 강력한 통계적 성질을 만족한다.
• 모든 주기적 궤도가 초구형 반발성일 조건 하에서, 기하적 압력 정의 간의 동치성(주기적 궤도 압력, 나무 압력, 변분 압력, 동형 압력)이 성립한다.
• 증명 과정에서 $ P(t) = -t \chi(p) $ 를 만족하는 주기적 궤도 $ p $ 가 존재하는 것은 $ t = t_- $ 또는 $ t = t_+ $ 일 때에만 성립함을 확인하여 해석적 정의역의 최대성 확인.