[论文解读] Geometric sharp large deviations for random projections of $\ell_p^n$ spheres and balls

Yin-Ting Liao, Kavita Ramanan|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文在高维渐近下，利用傅里叶分析与概率方法，为 $π_p^n$ 球面与球体上随机向量的标量投影建立了淬灭（quenched）的精确大偏差估计。研究揭示，尾部概率中的预因子依赖于投影方向，编码了球面与球体之间的几何差异——相较于对数渐近，提供了更精确的近似，并将经典的 Bahadur-Rao 修正推广至几何设定。

ABSTRACT

Accurate estimation of tail probabilities of projections of high-dimensional probability measures is of relevance in high-dimensional statistics and asymptotic geometric analysis. Whereas large deviation principles identify the asymptotic exponential decay rate of probabilities, sharp large deviation estimates also provide the "prefactor" in front of the exponentially decaying term. For fixed $p \in (1,\infty)$, consider independent sequences $(X^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$ and $(Θ^n)_{n \in \mathbb{N}}$ of random vectors with $Θ^n$ distributed according to the normalized cone measure on the unit $\ell_2^n$ sphere, and $X^{(n,p)}$ distributed according to the normalized cone measure on the unit $\ell_p^n$ sphere. For almost every realization $(θ^n)_{n\in\mathbb{N}}$ of $(Θ^n)_{n\in\mathbb{N}}$, (quenched) sharp large deviation estimates are established for suitably normalized (scalar) projections of $X^{(n,p)}$ onto $θ^n$, that are asymptotically exact (as the dimension $n$ tends to infinity). Furthermore, the case when $(X^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$ is replaced with $(\mathscr{X}^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$, where $\mathscr{X}^{(n,p)}$ is distributed according to the uniform (or normalized volume) measure on the unit $\ell_p^n$ ball, is also considered. In both cases, in contrast to the (quenched) large deviation rate function, the prefactor exhibits a dependence on the projection directions $(θ^n)_{n \in\mathbb{N}}$ that encodes additional geometric information that enables one to distinguish between projections of balls and spheres. Moreover, comparison with numerical estimates obtained by direct computation and importance sampling shows that the obtained analytical expressions for tail probabilities provide good approximations even for moderate values of $n$.

研究动机与目标

• 为高维下 $π_p^n$ 球面与球体的投影提供超越对数渐近的精确大偏差估计。
• 阐明尾部概率中预因子如何依赖于投影方向，以捕捉球面与球体之间的几何差异。
• 将经典的 Bahadur-Rao 精确大偏差结果推广至涉及 $π_p^n$ 范数的几何高维设定。
• 在 $n \to \infty$ 时，为固定投影方向（即淬灭条件）下的尾部概率建立渐近精确估计。
• 通过与直接计算和重要性采样所得的数值估计对比，验证分析结果，表明即使在中等 $n$ 时也具有高精度。

提出的方法

• 使用淬灭大偏差理论，对投影方向 $(\theta^n)$ 的几乎必然实现进行条件化。
• 运用傅里叶分析技术，分析投影随机向量的特征函数。
• 应用多维广义拉普拉斯渐近法，推导尾部概率中的精确预因子。
• 推导出淬灭速率函数的简化、严格凸表示形式，从而支持其几何解释。
• 在倾斜测度下建立中心极限定理，以支持对尾部行为的渐近分析。
• 使用重要性采样与数值验证，确认有限 $n$ 时分析近似结果的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对 $π_p^n$ 球面与球体的投影，其精确大偏差估计中的预因子如何依赖于投影方向？
• RQ2 能否为 $π_p^n$ 球面与球体的随机投影推导出淬灭精确大偏差估计？其与淬火或对数渐近有何不同？
• RQ3 尾部概率的预因子中编码了哪些几何信息，而这些信息在速率函数中无法体现？
• RQ4 当 $n$ 为中等大小时，尾部概率的分析表达式精度如何？与数值估计相比表现如何？
• RQ5 这些结果在多大程度上将经典的 Bahadur-Rao 修正推广至 $π_p^n$ 空间的几何设定？

主要发现

• 精确大偏差估计中的预因子显式依赖于投影方向 $(\theta^n)$，可明确区分 $π_p^n$ 球面与球体的投影。
• 淬灭速率函数为严格凸函数，且推导出一种更简洁的表示形式，便于进行几何解释。
• 所推导的分析尾部概率估计在 $n \to \infty$ 时为渐近精确，且与数值估计相比，在中等 $n$ 时也表现出良好一致性。
• 研究结果将经典精确大偏差估计（以 Bahadur 与 Ranga Rao 的思想为基础）推广至涉及 $π_p^n$ 范数的几何高维设定。
• 在一族倾斜测度下建立了随机投影的中心极限定理，支持了渐近分析。
• 证明技术还导出了若干具有独立兴趣的结果，包括多维广义拉普拉斯渐近法与一致偏差估计。