[논문 리뷰] Geometrical pluripotential theory on Sasaki manifolds

Weiyong He, Jun Li|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 02.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 카플러 다양체에서의 복소다양체론의 기본 결과들을 Sasaki 다양체로 확장한다. 이는 Reeb 폴로니에이션과 접선 분포에 기반한 횡단 카플러 구조를 활용하여 이루어지며, 횡단 카플러 잠재함수의 공간이 $d_p$-거리에 대해 완비된 지오데식 거리 공간임을 증명한다. 또한 $d_p$-거리와 에너지 함수 $I_p$ 사이의 균일한 동치 관계를 입증한다. 이러한 결과들은 $\mathcal{K}$-에너지의 적절성 조건을 통해 상수 스칼라 곡률 Sasaki 메트릭의 존재성을 특성화하는 데 핵심적이다.

ABSTRACT

We extend profound results in pluripotential theory on Kahler manifolds to Sasaki setting via its transverse Kahler structure. As in Kahler case, these results form a very important piece to solve the existence of Sasaki metrics with constant scalar curvature (cscs) in terms of properness of K-energy. One main result is to generalize T. Darvas' theory on the geometric structure of the space of Kahler potentials in Sasaki setting. Along the way we extend most of corresponding results in pluripotential theory to Sasaki setting via its transverse Kahler structure.

연구 동기 및 목표

• 카플러 기하학에서의 복소다양체론의 깊이 있는 결과들을 횡단 카플러 구조를 활용하여 Sasaki 기하학으로 확장하는 것.
• T. Darvas의 카플러 잠재함수 공간 기하학적 프레임워크를 Sasaki 설정으로 일반화하는 것.
• 공간 $\mathcal{E}_p(M,\xi,\omega^T)$가 $d_p$-거리에 대해 완비된 지오데식 거리 공간임을 확립하는 것.
• 상수 스칼라 곡률 Sasaki 메트릭의 존재 문제에 대한 복소다양체론적 기초를 마련하는 것.
• $\mathcal{K}$-에너지 함수를 $\mathcal{E}_1$로 확장하고, 유한 에너지 지오데식선을 따라 볼록성을 증명하는 것.

제안 방법

• Reeb 폴로니에이션과 접선 분포에 의해 유도되는 Sasaki 다양체 위의 횡단 카플러 구조를 활용한다.
• $\omega_\phi = \omega^T + dd^c_B\phi > 0$ 를 만족하는 $\phi \in C^\infty_B(M)$ 로서의 횡단 카플러 잠재함수 공간 $\mathcal{H}$ 를 정의하고, $d_p$-거리에 대한 메트릭 완비화를 통해 $\mathcal{E}_p$로 확장한다.
• $\mathcal{E}_p$ 위에 $d_p$-거리 구조를 도입하고, 이가 완비된 지오데식 거리 공간이며, 임의의 두 점을 연결하는 고유한 유한 에너지 지오데식선을 가짐을 증명한다.
• $p \in [1,\infty)$ 에 대해 $C^{-1}I_p(u,v) \leq d_p(u,v) \leq C I_p(u,v)$ 를 만족하는 균일한 상수 $C = C(n,p) > 1$ 를 도입하여 기하적 거리와 에너지 함수 간의 동치 관계를 확립한다.
• 폴로니에이션 차트에서 Zeriahi의 균일한 스코다 적분 가능성 정리를 적용하여 엔트로피를 제어하고 $\mathcal{E}_1$에서의 컴actness를 입증한다.
• $\mathcal{K}$-에너지 함수를 $\mathcal{E}_1$로 확장하여, 그 제약 조건이 $\mathcal{H}$ 에서의 $d_1$-하향 연속성 확장 중 가장 큰 것으로 간주하고, 유한 에너지 지오데식선을 따라 볼록성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Darvas가 개발한 카플러 잠재함수 공간의 기하학적 구조가 횡단 카플러 기하학을 활용하여 Sasaki 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 $p \in [1,\infty)$ 에 대해 공간 $\mathcal{E}_p(M,\xi,\omega^T)$ 가 $d_p$-거리에 대해 완비된 지오데식 거리 공간인가?
• RQ3 Sasaki 설정에서 $d_p$-거리와 $I_p$와 같은 에너지 함수 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 $\mathcal{K}$-에너지가 $\mathcal{E}_1$로 $d_1$-하향 연속 함수로 확장될 수 있으며, 이는 유한 에너지 지오데식선을 따라 볼록한가?
• RQ5 $d_1$-유계성과 균일한 엔트로피 제어는 $\mathcal{E}_1$에서의 $d_1$-준콤팩트성으로 이어지는가?

주요 결과

• $({\mathcal{E}}_p(M,\xi,\omega^{T}),d_{p})$ 는 모든 $p \in [1,\infty)$ 에 대해 완비된 지오데식 거리 공간이며, 임의의 두 점을 연결하는 고유한 유한 에너지 지오데식선이 존재한다.
• $C = C(n,p) > 1$ 인 균일한 상수 $C$ 가 존재하여 $C^{-1}I_p(u,v) \leq d_p(u,v) \leq C I_p(u,v)$ 를 만족함으로써, 기하적 거리와 에너지 함수 간의 동치 관계가 입증된다.
• $d_p(u, \frac{u+v}{2}) \leq C d_p(u,v)$ 는 균일하게 성립하며, 이는 거리 공간 내에서 중점 행동이 제어됨을 나타낸다.
• $\mathcal{E}_1$에서 $d_1$-유계이면서 엔트로피가 균일하게 유계인 수열은 $d_1$-수렴하는 부분수열을 가짐을 보여 $d_1$-준콤팩트성은 엔트로피 제어 하에 성립한다.
• $\mathcal{K}$-에너지 함수는 $\mathcal{E}_1$로 유일하게 확장되며, $\mathcal{H}$ 에 제약된 $d_1$-하향 연속성 확장 중 가장 큰 것으로 간주되며, 유한 에너지 지오데식선을 따라 볼록성을 가진다.
• $d_1$-수렴 하에서 $\omega_{u_k}^n \wedge \eta \rightharpoonup \omega_u^n \wedge \eta$ 가 성립함으로써, 극한에서 부피 형식의 일관성이 보장된다.