[논문 리뷰] Geometry of complex bounded domains with finite-volume quotients

Kefeng Liu, Yunhui Wu|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 35인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 체적 켈러-아인슈타인 몫을 가진 유계 강한 볼록 도메인의 자기사상군의 항등성분이 컴acts 성분이 없는 단순형임을 증명한다. 리 군 이론과 ℓ² 코homology를 사용하여, 기본군이 기약이고 일차원 자기사상군을 가진 이러한 도메인들이 유계 대칭 도메인과 복소해석적으로 동형임을 증명함으로써, 유한 체적 설정에서 오랫동안 남아 있던 요우와 카즈단의 추측을 해결한다.

ABSTRACT

We first show that for a bounded pseudoconvex domain with a manifold quotient of finite-volume in the sense of Kahler-Einstein measure, the identity component of the automorphism group of this domain is semi-simple without compact factors. This partially answers an open question in [Fra95]. Then we apply this result in different settings to solve several open problems, for examples, (1). We prove that the automorphism group of the Griffiths domain [Gri71] in $\mathbb{C}^2$ is discrete. This gives a complete answer to an open question raised four decades ago. (2). We show that for a contractible HHR/USq complex manifold $D$ with a finite-volume manifold quotient $M$, if $D$ contains a one-parameter group of holomorphic automorphisms and the fundamental group of $M$ is irreducible, then $D$ is biholomorphic to a bounded symmetric domain. This theorem can be viewed as a finite-volume version of Nadel-Frankel's solution for the Kahzdan conjecture, which has been open for years. (3). We show that for a bounded convex domain $D\subset \mathbb{C}^n$ of $C^2$-smooth boundary, if $D$ has a finite-volume manifold quotient with an irreducible fundamental group, then $D$ is biholomorphic to the unit ball in $\mathbb{C}^n$, which partially solves an old conjecture of Yau. For (2) and (3) above, if the complex dimension is equal to $2$, more refined results will be provided.

연구 동기 및 목표

• 유한 체적 케이스로 나델-프랭클의 카즈단 추측 해결 방법을 확장하여, 컴acts 몰입을 유한 체적 몰입으로 대체한다.
• 유한 체적 몰입과 연속적인 자기사상군을 가진 유계 도메인이 반드시 유계 대칭 도메인과 복소해석적으로 동형인지 여부라는 열린 문제를 해결한다.
• 기본군이 기약인 유계 강한 볼록 도메인에서 $C^1$-연속 경계와 유한 체적 몰입을 가진 경우, 이 도메인이 단위 구반공과 복소해석적으로 동형임을 증명한다 — 요우의 추측의 부분적 확인.
• 조화 사상에 의존하지 않는 대안적 방법을 사용하여, 리 군 이론과 코homological 기법을 기반으로 나델-프랭클 정리의 유한 체적 해석을 수립한다.

제안 방법

• 유한 체적 켈러-아인슈타인 몰입을 가진 유계 강한 볼록 도메인의 자기사상군의 항등성분이 컴acts 성분이 없는 단순형임을 증명하여, 나델과 프랭클의 결과를 일반화한다.
• ℓ² 코homology와 리 군 이론을 사용하여, 자기사상군이 일차원 부분군을 포함하고 기본군이 기약이면 도메인이 유계 대칭 도메인과 복소해석적으로 동형임을 보인다.
• 복소해석학에서의 스케일링 방법을 적용하여, $C^1$-연속 경계가 연속적인 일차원 자기사상군의 존재를 암시함을 보인다.
• 유계 기하학, 로그 일반 유형의 준사영 다양체, 그리고 강성 정리들(예: 조스트-즈우)의 결과를 통합하여, 헤르미트 대칭 공간으로의 복소해석적 동형을 도출한다.
• 하리시-찬드라 임bedding과 경계 정규성 분석을 사용하여, $C^1$-연속 볼록 도메인의 경우 고계수 대칭 도메인은 제거됨을 보인다.
• 헤르미트 대칭 공간에서 격자의 비영인 오일러 특성수를 이용하여 차원의 일치를 도출하고, 강성 정리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나델-프랭클 정리가 유계 대칭 도메인에 대해 유한 체적 몰입 케이스로 확장될 수 있는가?
• RQ2 기본군이 기약이고 $C^1$-연속 경계를 가진 유계 강한 볼록 도메인이 유한 체적 몰입을 가질 경우, 반드시 단위 구반공과 복소해석적으로 동형인가?
• RQ3 유한 체적 몰입 설정에서 복소해석적 자기사상군의 일차원 부분군 존재가 도메인이 유계 대칭 도메인임을 암시하는가?
• RQ4 그리피스 도메인의 자기사상군이 40년 이상의 추측처럼 이산임을 증명할 수 있는가?
• RQ5 유한 체적 몰입을 가진 수축 가능한 $\operatorname{HHR/USq}$ 복소다양체에서 어떤 조건이 헤르미트 대칭 공간과 복소해석적으로 동형임을 보장하는가?

주요 결과

• 유한 체적 켈러-아인슈타인 몰입을 가진 유계 강한 볼록 도메인의 자기사상군의 항등성분은 컴acts 성분이 없는 단순형이다.
• 그리피스 도메인의 자기사상군은 이산적이다. 이는 1971년 이후 40여 년간 미해결이었던 추측을 완전히 해결한다.
• 기본군이 기약이고 유한 체적 몰입을 가지며 일차원 자기사상군을 포함하는 수축 가능한 $\operatorname{HHR/USq}$ 복소다양체 $D$는 유계 대칭 도메인과 복소해석적으로 동형이다.
• 기본군이 기약이고 $C^1$-연속 경계를 가지며 유한 체적 몰입을 가진 $\mathbb{C}^n$ 내의 기약 유계 강한 볼록 도메인은 $\mathbb{C}^n$ 내의 단위 구반공과 복소해석적으로 동형이다. 이는 요우의 추측의 부분적 확인이다.
• 복소차원 2에서는 더 강력한 강성 결과를 도출하여, 오일러 특성수와 자기사상군의 구조에 기반해 단위 구반공과 바이디스크를 구분할 수 있다.
• $C^1$-연속 볼록 도메인의 경우, 연속적인 일차원 자기사상군의 존재는 도메인이 반드시 단위 구반공과 복소해석적으로 동형임을 강제하며, 이는 고계수 대칭 도메인의 경계 정규성과 모순된다.