[论文解读] Geometry of multi-marginal martingale optimal transportations and duality

Tongseok Lim|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用 7

一句话总结

本文提出了多损失马林加尔最优传输（MMOT），即针对依赖于多个资产的期权的马林加尔最优传输的推广。本文证明了MMOT问题对偶最优解的存在性，揭示了原始解中的几何结构，并表明在距离型成本下，极值条件相关性会出现在最优传输计划中。

ABSTRACT

The theory of Optimal Transport (OT) and Martingale Optimal Transport (MOT) were inspired by problems in economics and finance and have flourished over the past decades, making significant advances in theory and practice. MOT considers the problem of pricing and hedging of a financial instrument, referred to as an option, assuming its payoff depends on a single asset price. In this paper we introduce Multi-marginal Martingale Optimal Transport (MMOT) problem, which considers the more general and realistic situation in which the option payoff depends on multiple asset prices. We address this problem of pricing and hedging given market information -- described by multi-marginals -- which is an intimately relevant setup in the robust financial framework. We establish that the MMOT problem, as an infinite-dimensional linear programming, admits an optimizer for its dual program. Such existence result of dual optimizers is significant for several reasons: the dual optimizers describe how a person who is liable for an option payoff can formulate optimal hedging portfolios, and more importantly, they can provide crucial information on the geometry of primal optimizers, i.e. the MMOTs. As an illustration, we show that multiple martingales given marginals must exhibit an extremal conditional correlation structure whenever they jointly optimize the expectation of distance-type cost functions.

研究动机与目标

• 将马林加尔最优传输推广至 payoff 依赖于多个标的资产价格的多资产衍生品。
• 通过多个独立分布表示的市场信息，对稳健定价与对冲进行建模。
• 在MMOT的无限维线性规划形式下，建立对偶最优解的存在性。
• 通过对偶性揭示MMOT原始解的几何洞察。

提出的方法

• 将MMOT问题表述为受多损失和马林加尔条件约束的无限维线性规划问题。
• 对MMOT问题应用对偶理论，推导出具有明确定义最优解的对偶规划。
• 利用对偶最优解的存在性，推断原始MMOT计划的结构性质。
• 通过研究距离型成本函数下条件相关性结构，分析最优传输计划的几何特性。
• 应用变分法与凸分析技术，在缺乏紧致性条件下证明对偶解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多损失马林加尔最优传输问题存在对偶最优解？
• RQ2 在距离型成本函数下，最优传输计划的几何特性（尤其是条件相关性）如何表现？
• RQ3 在联合最小化期望成本的多损失马林加尔耦合中，会涌现出何种结构性约束？
• RQ4 如何利用对偶最优解构造多资产衍生品定价中的最优对冲策略？
• RQ5 多个资产的联合依赖关系在何种程度上决定了传输计划的极值行为？

主要发现

• MMOT问题的对偶规划存在最优解，这是无限维优化领域的一项重要理论成果。
• 对偶最优解的存在性使得能够构建多资产期权的最优对冲策略。
• 在最小化距离型成本函数时，原始MMOT解表现出极值条件相关性结构。
• 在最优传输计划中，多个马林加尔之间的条件相关性达到其极值。
• 对偶框架揭示了多损失马林加尔耦合的深层几何约束，将对偶性与传输计划的结构性质紧密关联。