[논문 리뷰] Geometry of the arithmetic site

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 19.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양의 정수의 곱셈 준군에서 집합으로의 함자를 다루는 토포스인 산술적 공간(arithmetic site)을 도입한다. 이는 특성 1의 구조층을 지닌 것으로, Q의 아델 클래스 공간을 최대 컴act 부분군으로 나눈 것이 그 점들에 의해 기하학적으로 실현됨을 증명한다. 이 점들 위에서의 프로베니우스 작용은 아델 클래스 공간 위에서 R+의 곱셈 작용과 일치하며, 해세-베일 유형의 공식을 통해 전체 리만 제타 함수를 도출한다.

ABSTRACT

We introduce the Arithmetic Site: an algebraic geometric space deeply related to the non-commutative geometric approach to the Riemann Hypothesis. We prove that the non-commutative space quotient of the adele class space of the field of rational numbers by the maximal compact subgroup of the idele class group, which we had previously shown to yield the correct counting function to obtain the complete Riemann zeta function as Hasse-Weil zeta function, is the set of geometric points of the arithmetic site over the semifield of tropical real numbers. The action of the multiplicative group of positive real numbers on the adele class space corresponds to the action of the Frobenius automorphisms on the above geometric points. The underlying topological space of the arithmetic site is the topos of functors from the multiplicative semigroup of non-zero natural numbers to the category of sets. The structure sheaf is made by semirings of characteristic one and is given globally by the semifield of tropical integers. In spite of the countable combinatorial nature of the arithmetic site, this space admits a one parameter semigroup of Frobenius correspondences obtained as sub-varieties of the square of the site. This square is a semi-ringed topos whose structure sheaf involves Newton polygons. Finally, we show that the arithmetic site is intimately related to the structure of the (absolute) point in non-commutative geometry.

연구 동기 및 목표

• Q의 아델 클래스의 비가환 기하 공간을 캡처하는 대수기하학적 객체를 구축하여 리만 제타 함수의 기하학적 해석을 가능하게 한다.
• 유한체 제타 함수의 q→1 극한을 모델링하는 특성 1의 구조층을 지닌 토포스 이론적 프레임워크를 정의한다.
• 아델 클래스 공간 위에서 R+×의 작용과 특성 1의 구조를 지닌 토포스 위 기하학적 점들 위에서의 프로베니우스 자기동형사상 사이의 대응관계를 확립한다.
• 산술적 공간이 일차 파arameter의 프로베니우스 대응관계의 가군을 지닌다는 것을 보이며, 리만 가설에 대한 비가환 기하학적 접근법을 가능하게 한다.
• 산술적 공간이 그 스토크들로부터 유도되는 C*-대수의 K-이론을 통해 비가환 기하학에서의 '절대 점' 개념과 연관지운다.

제안 방법

• 다음과 같은 토포스를 정의한다: 곱셈 준군 N×에서 집합의 범주로의 함수의 범주로, ŝN×로 표기한다.
• 이 토포스에 특성 1의 반환이며, Zmax = (Z ∪ {−∞}, max, +)로 주어지는 구조층을 부여하며, 프로베니우스 자기동형사상에 의해 작용한다.
• 산술적 공간의 기하학적 점들을 R+max 위에서 A_Q / Q×로, 최대 컴 pact 부분군 ĤZ×의 작용을 모듈로하여 실현한다.
• R+max 위에서의 프로베니우스 자기동형사상 Frλ(x) = x^λ와 아델 클래스 공간 위에서 R+×의 곱셈 작용 사이의 대응관계를 확립한다.
• 불리안 반환 B 위에서의 텐서곱 Zmin ⊗B Zmin 을 사용하여 산술적 공간의 제곱을 반환된 토포스로 구성하며, 뉴턴 다각형의 구조를 포함한다.
• 산술적 공간의 제곱의 부분다양체로 프로베니우스 대응관계를 정의하고, Reduced 구조 Conv≥(Z×Z)를 통해 그 합성 법칙을 연구하며, 이는 리만 제타 함수의 동역학과 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Q의 아델 클래스 공간을 최대 컴 pact 부분군으로 나눈 것이 잘 정의된 대수기하학적 객체의 기하학적 점들로 실현될 수 있는가?
• RQ2 아델 클래스 공간 위에서 R+×의 작용이 특성 1의 구조를 지닌 토포스 위의 점들 위에서 기하학적 프로베니우스 작용과 대응되는가?
• RQ3 특성 1의 구조층을 지닌 토포스를 사용하여 q→1 극한에서의 해세-베일 공식을 제타 함수에 대해 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 산술적 공간의 제곱에서 프로베니우스 대응관계는 어떻게 유도되며, 그 합성 법칙은 무엇인가?
• RQ5 산술적 공간은 비가환 기하학적 프레임워크에서 리만 가설과 관련하여 '절대 점'과 어떻게 연관되는가?

주요 결과

• 산술적 공간의 R+max 위 기하학적 점들의 집합은 최대 컴 pact 부분군 ĤZ×의 작용을 모듈로한 A_Q / Q×와 자연적으로 동형이다.
• 이 점들 위에서 프로베니우스 자기동형사상 Frλ의 작용은 아델 클래스 공간 위에서 R+×의 곱셈 작용과 정확히 일치한다.
• 산술적 공간은 뉴턴 다각형의 구조를 지닌 반환된 토포스 안에서 정의된 부분다양체로서, 일차 매개변수의 프로베니우스 대응관계의 가군을 지닌다.
• 산술적 공간의 축소된 제곱은 구조층이 Conv≥(Z×Z인 반환된 토포스의 구조를 지니며, 이는 프로베니우스 대응관계의 합성 법칙을 코딩한다.
• ℓ²(Z) 위의 컴 pact 연산자의 C*-대수의 스토크들을 토포스 ŝN× 안의 층으로 간주할 때, 이로부터 유도되는 무한 분리 가능한 매트로이드 C*-대수의 K0군은 토포스의 점들을 동형사상에 대해 분류한다.
• 산술적 공간은 아델 클래스의 비가환 기하 공간을 기하학적으로 실현하며, q→1 극한에서 리만 제타 함수를 해세-베일 제타 함수로 통합한다.