[논문 리뷰] Geometry of the Motion of Ideal Fluids and Rigid Bodies

S. G. Rajeev|ArXiv.org|2009. 05. 31.

Advanced Differential Geometry Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이상 유체와 강체 운동을 무한차원 리 군 위의 지측선 흐름으로 기하학적으로 재구성한다—유체의 경우 체적을 보존하는 미분동형사상의 군이고, 강체의 경우 SO(3)이다. 이는 왼쪽 불변 리만 계량을 사용한다. 이는 이러한 기하학에서의 음의 섹션 곡률이 역학적 불안정성으로 이어짐을 보이며, 이는 아르니홀드의 난류 이론을 복원하고, 얇은 실린더형 강체의 운동에서도 유사한 불안정성을 드러낸다.

ABSTRACT

Arnold pointed out that the Euler equation of incompressible ideal hydrodynamics describes geodesics on the group of volume-preserving diffeomorphisms. A simple analogue is the Euler equation for a rigid body, which is the geodesic equation on the rotation group with respect to a metric determined by the moment of inertia. The metric on the group is left-invariant but not right-invariant. We will reduce the geometry of such groups (using techniques popularized by Milnor) to algebra on their tangent space. In particular, the curvature can be expressed as a biquadratic form on the Lie algebra. Arnold's result that motion of incompressible fluids has instabilities (due to the sectional curvature being negative) can be recovered more simply. Surprisingly, such an instability arises in rigid body mechanics as well: the metric on SO(3) corresponding to the moment of inertia of a thin cylinder (coin) has negative sectional curvature in one tangent plane. Both ideal fluids and rigid bodies can be thought of as hamiltonian systems with a quadratic hamiltonian, but whose Poisson brackets are those of a non-nilpotent Lie algebra. We will also describe a different point of view towards three dimensional incompressible flow in terms of the Clebsch parametrization. In this picture, the Poisson brackets are represented canonically. The hamiltonian is represented by a quartic function. This is meant mainly as an expository article, aimed at a mathematical audience familiar with physics. Based on Lectures at the Chennai Mathematical Institute and the University of Connecticut.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 리 군 위의 리만 기하학 프레임워크를 사용하여 이상 유체 및 강체 운동의 기하 기술을 통합하기.
• 편미분동형사상 군의 곡률 분석을 통해 이상 유체 흐름의 불안정성 기원을 설명하기.
• 이 기하학적 시각을 강체 운동으로 확장하여 비구형 물체에서 유사한 불안정성을 드러내기.
• 밀너의 기법을 사용하여 무한차원 기하 문제를 리 대수 위의 대수적 질문으로 환원하기.
• 삼차원 비압축성 흐름에 대한 클레브시 매개변수화와 같은 대안적 형식을 탐색하여 캐논ical 푸아송 괄호를 갖는 4차 해밀토니안으로 표현하기.

제안 방법

• 유체의 경우 체적을 보존하는 미분동형사상의 군, 강체의 경우 SO(3)에 대해 왼쪽 불변 리만 계량을 갖는 지측선으로서 유체 및 강체 운동을 모델링한다.
• 물질 도함수와 가속도를 유체 기준에서 정의하기 위해 리 미분과 레비치비타 접선을 사용한다.
• 헤지 분해를 통해 벡터장의 수렴이 없는(접선) 부분과 기울기(세로) 부분으로 벡터장을 직교 분해한다.
• 기저 다양체의 곡률과 수직 및 세로 성분을 포함한 $L^2$ 내적과 수직 투영을 사용하여 편미분동형사상 군의 리만 곡률 텐서를 리 대수 위의 이차형식으로 표현한다.
• 편미분계수를 수렴이 없는 벡터장의 접선 공간에 투영함으로써 코바리언트 도함수의 프로젝션을 통해 오일러 방정식을 지측선 방정식으로 유도한다.
• 기저 다양체의 곡률과 메트릭의 수직 및 세로 성분을 고려하여 평균화된 리만 곡률 형식 $\bar{r}(u,v)$ 를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이상 유체의 운동은 체적을 보존하는 미분동형사상 군 위의 지측선 흐름으로 어떻게 해석할 수 있는가?
• RQ2 곡률이 이상 유체 흐름의 불안정성에 미치는 역할은 무엇이며, 음의 섹션 곡률과의 관계는 무엇인가?
• RQ3 비구형 물체의 강체 운동에도 유사한 불안정성 메커니즘이 존재하는가?
• RQ4 무한차원 미분동형사상 군의 기하학은 그 리 대수 위의 대수적 구조로 환원될 수 있는가?
• RQ5 클레브시 매개변수화는 비압축성 흐름을 캐논ical 푸아송 괄호와 4차 해밀토니안을 갖는 해밀토니안 체계로 어떻게 재구성하는가?

주요 결과

• 비압축성 이상 유체의 오일러 방정식은 $L^2$ 기반의 왼쪽 불변 계량을 갖는 체적을 보존하는 미분동형사상 군 위의 지측선 방정식과 동치이다.
• 아르니홀드가 보여준 바와 같이, 편미분동형사상 군의 음의 섹션 곡률은 역학적 불안정성을 암시하며, 본 논문은 곡률 분석을 통해 이를 복원한다.
• 얇은 실린더형 강체(동전)는 SO(3)의 한 접선 평면에서 음의 섹션 곡률을 보이며, 이는 강체 운동에서 이전에 인식되지 않았던 불안정성을 시사한다.
• 편미분동형사상 군의 곡률은 기저 다양체의 곡률과 메트릭의 수직 및 세로 성분 기여를 포함한 리 대수 위의 이차형식으로 표현된다.
• 리만 곡률 텐서는 기저 다양체의 곡률과 $L^2$ 메트릭의 $T$ 및 $S$ 성분을 포함하는 항들로 분해되며, 토러스와 같은 평탄한 다양체에서의 명시적 계산이 가능해진다.
• 클레브시 매개변수화를 통해 비압축성 흐름은 4차 해밀토니안과 캐논ical 푸아송 괄호를 갖는 해밀토니안 체계로 재구성되며, 유체역학의 다른 기하학적 시각을 제공한다.