[논문 리뷰] Geometry of three manifolds and existence of Black Hole due to boundary effect

Shing‐Tung Yau|ArXiv.org|2001. 09. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 강한 경계 평균 곡률 효과로 인해 3차원 시공간 초평면에서 허위 사건의 지평선—블랙홀 형성의 징후—이 나타나는 기하 조건을 확립한다. 경계 평균 곡률, 스칼라 곡률, 에너지-모멘텀 제약 조건 간의 상호작용을 분석함으로써, 경계의 평균 곡률이 제2 기본형의 추이를 초과하는 양의 여유가 있을 경우, 그리고 영역의 반지름 크기와 효과적 에너지 밀도가 충분히 크다면, 음의 물질 밀도가 존재하더라도 강한 경계 효과 하에서 내부에 허위 사건의 지평선이 반드시 형성됨을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we observe that the brane functional studied in hep-th/9910245 can be used to generalize some of the works that Schoen and I [4] did many years ago. The key idea is that if a three dimensional manifold M has a boundary with strongly positive mean curvature, the effect of this mean curvature can influence the internal geometry of M. For example, if the scalar curvature of M is greater than certain constant related to this boundary effect, no incompressible surface of higher genus can exist.

연구 동기 및 목표

• 3차원 다양체에서 경계 기하학이 내부 곡률과 위상에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 내부 질량이 아닌 경계 효과로 인해 허위 사건의 지평선—블랙홀 존재의 핵심—이 형성되는 조건을 규명하는 것.
• 경계 평균 곡률 제약 조건을 통합함으로써 Schoen-Yau 및 Meeks-Simon-Yau의 비압축 표면에 대한 결과를 일반화하는 것.
• 경계 곡률과 에너지-모멘텀 자료를 이용한 시공간 초평면에서의 블랙홀 형성 기하 기준을 설정하는 것.

제안 방법

• 지정된 기본군 상사의 표면에서 최소화되는 에너지와 경계 결합 항을 포함하는 함수를 사용한다.
• 변분 방법과 제2변분 공식을 적용하여 일정 평균 곡률 표면의 안정성 조건을 유도한다.
• 가우스 공식과 리치 곡률 분해를 활용하여 안정 표면에서 스칼라 곡률, 가우스 곡률, 제2 기본형 간의 관계를 규명한다.
• 콘formal 변형 기법을 활용하여 경계 평균 곡률를 유지하면서 스칼라 곡률를 조정하고, 야마베 문제를 활용한다.
• 선형화된 평균 곡률 연산자의 해 존재성을 핵 조건 하에 분석한다.
• 거리 함수 장벽을 통해 하한해와 상한해를 구성하여 그래프 방정식의 딜리클레 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 다양체의 경계에 어떤 기하 조건이 성립할 경우 내부에 허위 사건의 지평선이 형성될 수 있는가?
• RQ2 경계의 평균 곡률이 강하게 양일 경우, 고차원 위상의 비압축 표면 존재가 배제될 수 있는가?
• RQ3 경계 평균 곡률과 제2 기본형의 추이 간의 차이가 블랙홀 형성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 경계 곡률 효과가 충분히 강하다면 음의 에너지 밀도가 존재하더라도 블랙홀 형성이 가능할 수 있는가?
• RQ5 다양체의 반지름 크기는 허위 사건의 지평선 존재 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 만약 3차원 다양체의 스칼라 곡률가 $ R_M + \frac{3}{2}c^2 \geq 0 $ 를 만족한다면, $ \chi(\Sigma) \leq 0 $ 인 안정된 옹호 표면은 반드시 $ \chi(\Sigma) = 0 $ 이고, 표면 전체에서 $ R_M + \frac{3}{2}c^2 = 0 $ 이다.
• 만약 $ R_M + \frac{3}{2}c^2 > 0 $ 라면, 안정된 표면이 $ \chi(\Sigma) = 0 $ (토러스)일 수 없으며, 이 조건은 콘포멀 변형 하에서도 유지된다.
• 만약 $ R_M + \frac{3}{2}c^2 = 0 $ 이라면, 다양체는 아이н슈타인 다양체여야 하며, 선형화된 평균 곡률 연산자가 핵을 가지지 않는 한, 일정 평균 곡률를 갖는 안정 표면이 존재한다.
• 선형화된 연산자에 비자명한 핵이 존재할 경우 표면은 유미부르칼이며, $ K_\Sigma \geq 0 $ 이며, 등호는 표면이 완전히 유미부르칼일 경우에만 성립한다.
• 핵심 결과인 정리 5.2는 $ \text{Rad}(M) \geq \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{\pi}{\sqrt{\Lambda}} $ 이고 $ \Lambda = \frac{2}{3}c^2 + \mu - |J| $ 일 경우, 내부에 허위 사건의 지평선이 반드시 형성됨을 증명한다. 이는 $ \mu < 0 $ 이더라도 $ c > 0 $ 이면 성립한다.
• 경계 효과—특히 $ H - |\text{tr}_{\partial M}(p)| \geq c > 0 $ — 는 내부 질량 밀도와 무관하게 블랙홀 형성에 충분하다.