[论文解读] Gersten weight structures for motivic homotopy categories; direct summands of cohomology of function fields and coniveau spectral sequences

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 48被引用 15

一句话总结

本文通过在 motivic pro- spectra 的范畴 $\mathfrak{D}$ 上新构造的 Gersten 权重结构，建立了 cohomology 理论通过 Morel-Voevodsky 三角化 motivic homotopy category $SH^{S^1}(k)$ 时，coniveau 族谱序列的 $SH^{S^1}(k)$-函子性。关键贡献是证明了 affine essentially smooth semi-local scheme 与 primitive scheme 的上同调是其开稠密子chemes 上同调的直和项，将 Bloch-Ogus 族谱序列推广至 motivic spectra。

ABSTRACT

For any cohomology theory $H$ that can be factorized through (the Morel-Voevodsky's triangulated motivic homotopy category) $SH^{S^1}(k)$ (or through $SH(k)$) we establish the $SH^{S^1}(k)$-functorialty (resp. $SH(k)$-one) of coniveau spectral sequences for $H$. We also prove: for any affine essentially smooth semi-local $S$ the Cousin complex for $H^*(S)$ splits; if $H$ also factorizes through $SH^+(k)$ or $SH^{MGL}(k)$, then this is also true for any primitive $S$. Moreover, the cohomology of such an $S$ is a direct summand of the cohomology of any its open dense subscheme. This is a vast generalization of the results of a previous paper. In order to prove these results we consider certain categories of motivic pro-spectra, and introduce Gersten weight structures for them. Our results rely on several interesting statements on weight structures in cocompactly cogenerated triangulated categories and on the '$SH^+(k)$-acyclity' of primitive schemes. .

研究动机与目标

• 将 coniveau 族谱序列的函子性与分裂性质推广至任意 perfect field 及此前未研究的广泛 cohomology 理论类别。
• 解决 motivic homotopy category 中 semi-local 与 primitive scheme 上同调缺乏函子性与直和项结果的问题。
• 构造一个包含 $SH^{S^1}(k)^c$ 与 $k$ 上函数域的 pro-spectra 的 triangulated category $\mathfrak{D}$，以支持权重结构的研究。
• 通过 $\mathfrak{D}$ 上的 Gersten 权重结构，将经典的 Bloch-Ogus coniveau 族谱序列推广至 $SH^{S^1}(k)^c$ 中的任意对象。
• 利用 pro-spectra 与对偶性，证明函数域及其剩余域的上同调是其开子 schemes 上同调的直和项。

提出的方法

• 构造一个包含 $SH^{S^1}(k)^c$ 与 $k$ 上函数域的 pro-spectra 的 triangulated category $\mathfrak{D}$，并为不同 motivic category 构造对应的 $\mathfrak{D}^T$、$\mathfrak{D}^+$ 与 $\mathfrak{D}^{MGl}$。
• 在 $\mathfrak{D}$ 上引入一个 Gersten 权重结构 $w$，该结构与 homotopy $t$-结构正交，利用 cocompactly cogenerated triangulated categories 的新构造方法。
• 通过 Postnikov tower 将 smooth variety 的 $SH^{S^1}(k)$-spectrum 分解为点的 twisted pro-spectra，且这些 twisted pro-spectra 属于 $w$ 的核心。
• 利用与 $w$ 相关的权重族谱序列，将经典 coniveau 族谱序列推广至 $SH^{S^1}(k)^c$ 中任意对象的上同调，以 homotopy $t$-截断表示。
• 证明对于 affine essentially smooth semi-local $S$，$H^*(S)$ 的 Cousin 复形可分裂，且 $H^*(S)$ 是任意开稠密子 scheme $U \subset S$ 的 $H^*(U)$ 的直和项，利用权重结构与对偶性。
• 通过证明因子通过这些范畴的 cohomology 理论继承直和项与族谱序列性质，建立 coniveau 滤子与族谱序列在 $SH(k)$、$SH^+(k)$ 与 $SH^{MGl}(k)$ 下的函子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 perfect field，能否使因子通过 $SH^{S^1}(k)$ 的 cohomology 理论的 coniveau 族谱序列在 motivic homotopy category 中具有函子性？
• RQ2 affine essentially smooth semi-local scheme 与 primitive scheme 的上同调群是否可分解为它们的开稠密子 schemes 上同调的直和项？
• RQ3 能否通过 motivic pro-spectra 范畴上的权重结构，将经典 Bloch-Ogus coniveau 族谱序列推广至 $SH^{S^1}(k)^c$ 中的任意对象？
• RQ4 在 $\mathfrak{D}$ 上的 Gersten 权重结构在控制 motivic spectra 的上同调与族谱序列结构中起什么作用？
• RQ5 在 $\mathfrak{D}$ 中，函数域及其剩余域的 pro-spectra 之间有何关系？它们在上同调上诱导出何种直和项性质？

主要发现

• 任何因子通过 $SH^{S^1}(k)$ 的 cohomology 理论的 coniveau 族谱序列均具有 $SH^{S^1}(k)$-函子性，将 Bloch-Ogus 结果推广至 motivic spectra。
• 对于任意 affine essentially smooth semi-local scheme $S$，若 $H$ 因子通过 $SH^{S^1}(k)$，则 $H^*(S)$ 的 Cousin 复形可分裂，且 $H^*(S)$ 是任意开稠密子 scheme $U \subset S$ 的 $H^*(U)$ 的直和项。
• 若 $H$ 因子通过 $SH^+(k)$ 或 $SH^{MGl}(k)$，则对任意 primitive scheme $S$（不仅 semi-local）该直和项性质仍成立。
• $\mathfrak{D}$ 中函数域的 pro-spectra 包含其所有几何赋值下的剩余域的 twisted pro-spectra，因此此类域的上同调是其域上同调的直和项。
• 与 $\mathfrak{D}$ 上 Gersten 权重结构相关的权重族谱序列推广了经典 coniveau 族谱序列，且可表示为 $SH^{S^1}(k)$ 中表示对象的 homotopy $t$-截断。
• 结果可推广至因子通过 $SH(k)$、$SH^+(k)$ 或 $SH^{MGl}(k)$ 的 cohomology 理论，包括 $K$-理论、代数 cobordism、复 $K$-理论与 Witt 上同调，在基域满足适当假设下成立。