[論文レビュー] Gerstenhaber algebra and Deligne's conjecture on Tate-Hochschild cohomology

Zhengfang Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、非可換微分形式を用いて、任意の体上の結合的代数についてTate-Hochschildコホモロジーを計算する特異Hochschildコチェイン複体を構成する。この複体が小2円板操作用の作用を持つことを示し、Deligneの予想を証明する。これにより、コホモロジーにGerstenhaber代数構造が入り、自己同型的代数ではBatalin-Vilkovisky代数構造が得られる。

ABSTRACT

Using non-commutative differential forms, we construct a complex called singular Hochschild cochain complex for any associative algebra over a field. The cohomology of this complex is isomorphic to the Tate-Hochschild cohomology in the sense of Buchweitz. By a natural action of the cellular chain operad of the spineless cacti operad, introduced by R. Kaufmann, on the singular Hochschild cochain complex, we provide a proof of the Deligne's conjecture for this complex. More concretely, the complex is an algebra over the (dg) operad of chains of the little $2$-discs operad. By this action, we also obtain that the singular Hochschild cochain complex has a $B$-infinity algebra structure and its cohomology ring is a Gerstenhaber algebra. Inspired by the original definition of Tate cohomology for finite groups, we define a generalized Tate-Hochschild complex with the Hochschild chains in negative degrees and the Hochschild cochains in non-negative degrees. There is a natural embedding of this complex into the singular Hochschild cochain complex. In the case of a self-injective algebra, this embedding becomes a quasi-isomorphism. In particular, for a symmetric algebra, this allows us to show that the Tate-Hochschild cohomology ring, equipped with the Gerstenhaber algebra structure, is a Batalin-Vilkovisky algebra.

研究の動機と目的

• 結合的代数の一般化されたTate-Hochschildコホモロジー理論を、特異Hochschildコチェイン複体を用いて定義すること。
• この複体のコホモロジーにGerstenhaber代数構造を確立すること。
• 複体がdg小2円板操作用の代数であることを示し、Deligneの予想を証明すること。
• 自己同型的代数に対して、Tate-HochschildコホモロジーリングがBatalin-Vilkovisky代数であることを示すこと。
• 非可換幾何学におけるHochschildコホモロジー、Tateコホモロジー、および操作用構造を統合する枠組みを提供すること。

提案手法

• 非可換微分形式を係数とするHochschildコチェイン複体の帰納的極限として特異Hochschildコチェイン複体を構成する。
• 増加する形式を伴うコチェイン複体間の自然な埋め込みを用いて、全複体を定義する。
• 特異Hochschildコチェイン複体にスプライスレス・カクタイス操作用のセル・チェイン操作用の自然な作用を与える。
• 複体が小2円板操作用のチェイン複体のdg操作用の代数であることを示し、Deligneの予想を証明する。
• 複体に$B_{\infty}$-代数構造を導入し、コホモロジーにGerstenhaber代数構造を誘導する。
• 負の次数にHochschildチェイン、非負の次数にコチェインを持つ一般化されたTate-Hochschild複体を定義し、特異複体に自然に埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の結合的代数について、Tate-Hochschildコホモロジーを計算する特異Hochschildコチェイン複体を構成できるか？
• RQ2 特異Hochschildコチェイン複体は小2円板操作用の作用をもつのか。これによりDeligneの予想が証明されるか？
• RQ3 特異Hochschildコチェイン複体のコホモロジーはGerstenhaber代数か？
• RQ4 自己同型的代数に対して、Tate-HochschildコホモロジーリングはBatalin-Vilkovisky代数か？
• RQ5 一般化されたTate-Hochschild複体の特異複体への埋め込みが準同型的になる条件は何か？

主な発見

• 特異Hochschildコチェイン複体は、任意の体上の結合的代数のTate-Hochschildコホモロジーを計算する。
• 複体はスプライスレス・カクタイス操作用のセル・チェイン操作用の自然な作用を持つ。これによりDeligneの予想が実現される。
• 複体のコホモロジーはGerstenhaber代数であり、カップ積とGerstenhaber括弧は$B_{\infty}$-代数構造から誘導される。
• 自己同型的代数に対して、一般化されたTate-Hochschild複体の特異複体への埋め込みは準同型的である。
• 対称代数に対して、Tate-HochschildコホモロジーリングはBatalin-Vilkovisky代数であり、BV作用素は特異複体から誘導される。
• $\widetilde{\iota}^*$は、特異複体のHochschildコホモロジーとTate-Hochschildコホモロジーの間のBV代数の同型写像である。