[논문 리뷰] GKM theory for torus actions with non-isolated fixed points

Victor Guillemin, Tara S. Holm|ArXiv.org|2003. 08. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정점이 고립되어 있지 않은 컴팩트 심플렉틱 다양체 위의 하밀토니안 토루스 작용으로 GKM 이론을 확장한다. 고정점 성분의 정규 공간 위의 이소트로피 표현을 바탕으로 일반화된 GKM 조건을 도입하며, 다양체의 에퀴브ariant 코homology가 궤도 구조를 Encoding하는 그래프의 에퀴브ariant 코homology와 고정점 성분의 일반 코homology의 텐서곱과 동형임을 증명한다. 이는 고립된 고정점에 대한 고전적 GKM 정리의 일반화이다.

ABSTRACT

Let $M^{2d}$ be a compact symplectic manifold and $T$ a compact $n$-dimensional torus. A Hamiltonian action, $τ$, of $T$ on $M$ is a GKM action if, for every $p \in M^T$, the isotropy representation of $T$ on $T_pM$ has pair-wise linearly independent weights. For such an action the projection of the set of zero and one-dimensional orbits onto $M/T$ is a regular $d$-valent graph; and Goresky, Kottwitz and MacPherson have proved that the equivariant cohomology of $M$ can be computed from the combinatorics of this graph. (See \cite{GKM:eqcohom}.) In this paper we define a ``GKM action with non-isolated fixed points'' to be an action, $τ$, of $T$ on $M$ with the property that for every connected component, $F$ of $M^T$ and $ p \in F$ the isotropy representation of $T$ on the normal space to $F$ at $p$ has pair-wise linearly independent weights. For such an action, we show that all components of $M^T$ are diffeomorphic and prove an analogue of the theorem above.

연구 동기 및 목표

• 고립되어 있지 않은 고정점 집합을 가진 하밀토니안 토루스 작용으로 GKM 이론을 일반화하는 것.
• 각 고정점 성분의 정규 공간에서의 무게들이 두 개씩의 선형 독립성을 만족하는 조건을 기반으로 새로운 GKM 조건을 정의하는 것.
• 다양체의 에퀴브ariant 코homology와 그래프 코homology 및 고정점 성분 코homology의 텐서곱 사이의 코homological 동형을 확립하는 것.
• 모든 고정점 성분이 서로 미분동형이며, 1차원 궤도 폐쇄들이 정규적이고 레이블이 부여된 그래프를 이룬다는 것을 보이는 것.
• 이 일반화된 프레임워크의 기하학적 및 위상수학적 의미를 탐색하는 것, 예를 들어 호로노미 불변량과 피복 구조.

제안 방법

• 각 고정점 성분의 정규 공간 위의 이소트로피 표현에서 무게들이 두 개씩의 선형 독립성을 만족하도록 하여 고립되지 않은 고정점이 있는 GKM 작용을 정의한다.
• 1차원 궤도 폐쇄와 고정점 성분들로부터 (d−m)-정점 그래프 Γ를 구성하며, 간선 레이블은 이소트로피 무게로 주어진다.
• 레이블이 부여된 정규 (d−m)-정점 그래프 Γ의 에퀴브ariant 코homology 링 H(Γ, α)를 정의하며, 고전적 GKM 구성의 일반화이다.
• 다양체의 에퀴브ariant 코homology H_T(M)가 H(Γ, α) ⊗ H(F)와 동형임을 증명한다. 여기서 F는 임의의 고정점 성분이다.
• 모르스 이론과 호로노미를 이용해 π₁(Γ, F) → Diff(F) (카일러 경우 Bihol(F))의 호모로피즘 Θ를 정의하며, M이 고정점 성분 위의 피복 구조가 아닐 경우의 실패도 측정한다.
• 각 1차원 궤도 폐쇄 W_i 가 고정점 성분 위의 복소선다발 L에 대해 ℙ(L ⊕ ℂ)과 미분동형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GKM 이론이 고립된 고정점 외의 작용으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 고정점 집합과 궤도 공간의 구조가 다양체의 에퀴브ariant 코homology를 어떻게 제약하는가?
• RQ3 이러한 작용에서 1차원 궤도 폐쇄의 위상수학적 및 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ4 호로노미 불변량이 다양체가 고정점 성분 위의 피복 구조인지 여부를 얼마나 잘 탐지하는가?
• RQ5 일반화된 GKM 동형 H_T(M) ≃ H(Γ, α) ⊗ H(F)를 구체적인 예제에서 에퀴브ariant 코homology를 계산하는 데 어떻게 활용할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 고정점 집합 M^T의 연결 성분은 상호 미분동형이며, 차원이 2m이다.
• 각 1차원 궤도 폐쇄 W_i 는 차원 2m+2인 심플렉틱 부분다양체이며, 복소선다발 L에 대해 ℙ(L ⊕ ℂ)과 미분동형이다.
• 1차원 궤도 폐쇄는 고정점 성분들에서만 만난다. 각 고정점 성분은 정확히 d−m개의 폐쇄에 속해 있다.
• 에퀴브ariant 코homology 링 H_T(M; ℂ)는 그래프 코homology H(Γ, α)와 고정점 성분 F의 일반 코homology H(F; ℂ)의 텐서곱과 동형이다.
• 호로노미 호모로피즘 Θ: π₁(Γ, F) → Diff(F) (카일러 경우 Bihol(F)) 가 정의되며, M이 F 위의 피복 구조이면서 섬유가 GKM 다양체일 경우 이는 0이 된다.
• 그래프 Γ 는 정규 (d−m)-정점 레이블이 부여된 그래프이며, 간선 레이블은 이소트로피 무게로 주어지며, 토루스 작용과 호환된다.