[논문 리뷰] Global null-controllability and nonnegative-controllability of slightly superlinear heat equations

Kévin Le Balc’h|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 29.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 49인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 데리클레 또는 노이만 경계 조건을 가진 약간 초선형 열 방정식에 대해 새로운 $L^1$ 카르레만 추정과 카쿠타니-레라-슈아더 고정점 방법을 사용하여 전역 영제어 가능성과 비음성 제어 가능성을 확립한다. 비선형성 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$에 대해 열린 케이스 $\alpha \in [3/2, 2)$를 해결하며, 자유 해가 폭발할 수 있음에도 불구하고 임의의 초기 자료를 큰 시간 동안 전역적으로 영으로 이동시킬 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

We consider the semilinear heat equation posed on a smooth bounded domain $Ω$ of $\mathbb{R}^{N}$ with Dirichlet or Neumann boundary conditions. The control input is a source term localized in some arbitrary nonempty open subset $ω$ of $Ω$. The goal of this paper is to prove the uniform large time global null-controllability for semilinearities $f(s) = \pm |s| \log^α(2+|s|)$ where $α\in [3/2,2)$ which is the case left open by Enrique Fernandez-Cara and Enrique Zuazua in 2000. It is worth mentioning that the free solution (without control) can blow-up. First, we establish the small-time global nonnegative-controllability (respectively nonpositive-controllability) of the system, i.e., one can steer any initial data to a nonnegative (respectively nonpositive) state in arbitrary time. In particular, one can act locally thanks to the control term in order to prevent the blow-up from happening. The proof relies on precise observability estimates for the linear heat equation with a bounded potential $a(t,x)$. More precisely, we show that observability holds with a sharp constant of the order $\exp\left(C |a|\_{\infty}^{1/2} ight)$ for nonnegative initial data. This inequality comes from a new $L^1$ Carleman estimate. A Kakutani's fixed point argument enables to go back to the semilinear heat equation. Secondly, the uniform large time null-controllability result comes from three ingredients: the global nonnegative-controllability, a comparison principle between the free solution and the solution to the underlying ordinary differential equation which provides the convergence of the free solution toward $0$ in $L^{\infty}(Ω)$-norm, and the local null-controllability of the semilinear heat equation.

연구 동기 및 목표

• 2000년 이후로 미해결 상태였던 비선형성 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$에 대해 $\alpha \in [3/2, 2)$일 때 전역 영제어 가능성의 격차를 메우는 것.
• 해당 비선형성에 대해 소규모 시간 동안의 전역 비음성 제어 가능성을 확립하여 제어가 폭발을 방지할 수 있음을 보장하는 것.
• 비음성 제어 가능성, 비교 원리, 국소 영제어 가능성의 조합을 통해 균일한 장시간 전역 영제어 가능성을 증명하는 것.
• 기울기 의존 비선형성과 적절한 부호 및 성장 조건을 만족하는 반응-확산 시스템에 대한 분석을 확장하는 것.

제안 방법

• 유계 잠재력을 가진 선형 열 방정식에 대해 새로운 $L^1$ 카르레만 추정을 유도하여, 비음성 초기 자료에 대해 정확한 상수 $\exp\left(C\|a\|_{\infty}^{1/2}\right)$를 갖는 관측 가능성 결과를 도출한다.
• 새로운 $L^1$ 카르레만 추정을 사용하여 유계 잠재력을 가진 선형 방정식에 대해 $L^2$-$L^1$ 관측 가능성 부등식을 확립한다.
• 카쿠타니-레라-슈아더의 고정점 정리를 적용하여 선형 비음성 제어 가능성을 반선형 경우로 확장한다.
• 자유 해와 상수 계수 미분방정식의 해 사이의 비교 원리를 사용하여, 큰 시간에 대해 자유 해가 $L^\infty(\Omega)$ 노름에서 0으로 수렴함을 보인다.
• 반선형 시스템의 국소 영제어 가능성과 자유 해의 수렴성을 조합하여 장시간에 대한 전역 영제어를 구성한다.
• 비선형성에 대한 부호 및 성장 조건을 만족하는 $m$개의 방정식을 가진 시스템에 결과를 일반화하며, 벡터형 비교 원리를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반선형 열 방정식에 대해 비선형성 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$일 때 $\alpha \in [3/2, 2)$인 경우, 2000년에 페르난데스-카라와 주아아주아가 남긴 열린 문제인 전역 영제어 가능성은 확립될 수 있는가?
• RQ2 해당 비선형성에 대해 소규모 시간 동안의 전역 비음성 제어 가능성은 달성 가능한가? 이를 통해 제어가 폭발을 방지할 수 있는가?
• RQ3 비음성 초기 자료를 가진 반선형 열 방정식의 자유 해가, 제어 없이 폭발할 수 있음에도 불구하고 큰 시간에 대해 $L^\infty(\Omega)$-노름에서 0으로 수렴하는가?
• RQ4 초선형 성장이 있는 연립 반선형 열 방정식 시스템에 대해 전역 영제어 가능성을 보장하는 비선형성의 조건은 무엇인가?
• RQ5 비선형성이 상태의 기울기에 의존하거나 방정식 간에 결합되어 있는 시스템으로 제어 전략을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비선형성 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$에 대해 $\alpha \in [3/2, 2)$인 반선형 열 방정식에 대해 소규모 시간 동안의 전역 비음성 제어 가능성을 확립한다. 즉, 임의의 초기 자료를 임의의 시간 내에 비음성 상태로 이동시킬 수 있다.
• 새로운 $L^1$ 카르레만 추정은 비음성 초기 자료에 대해 정확한 상수 $\exp\left(C\|a\|_{\infty}^{1/2}\right)$를 갖는 관측 가능성 부등식을 도출하며, 선형화된 시스템의 제어를 가능하게 한다.
• 비음성 초기 자료를 가진 반선형 열 방정식의 자유 해는 $\alpha \in [3/2, 2)$이면 $t \to \infty$일 때 $L^\infty(\Omega)$-노름에서 0으로 수렴한다. 제어 없이 폭발이 발생할 수 있음에도 불구하고 그렇다.
• 비음성 제어 가능성, 자유 해의 수렴성, 국소 영제어 가능성의 조합을 통해 동일한 비선형성 클래스에 대해 균일한 장시간 전역 영제어 가능성이 증명된다.
• 부호 조건 $\sum f_i(r) \leq -C(\sum r_i)\log^\alpha(2 + \sum r_i)$와 $\alpha \in (1,2)$를 만족하는 $m$개의 결합된 반선형 열 방정식 시스템에 대해서도 결과가 확장되며, 충분히 큰 시간에 대해 전역 영제어 가능성이 보장된다.
• 이 틀은 데리클레 및 노이만 경계 조건 모두에 적용되며, 동일한 가정 하에 동일한 결과가 성립한다.