[논문 리뷰] Global regularity for the Monge-Ampère equation with natural boundary condition

Shibing Chen, Jiakun Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 21.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $Ω$ 및 $Ω^*$가 $C^{1,1}$ 경계를 가지며 유계인 볼록 도메인이고, $f$가 허더 연속일 때, 자연 경계 조건 $Du(Ω) = Ω^*$를 갖는 몽체-암페르 방정식 $∂ D^2u = f$에 대해 전역적 $C^{2,\beta}$ 및 $W^{2,p}$ 정규성을 확립한다. 주요 기여는 도메인의 균일 볼록성 조건을 요구하지 않고 정규성을 증명한 것으로, 이는 이전 연구에서 더 강한 경계 기하 조건에 의존했던 것을 확장한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we establish the global $C^{2,α}$ and $W^{2,p}$ regularity for the Monge-Ampère equation $\det\,D^2u = f$ subject to boundary condition $Du(Ω) = Ω^*$, where $Ω$ and $Ω^*$ are bounded convex domains in the Euclidean space $\mathbb{R}^n$ with $C^{1,1}$ boundaries, and $f$ is a Hölder continuous function. This boundary value problem arises naturally in optimal transportation and many other applications.

연구 동기 및 목표

• 몽체-암페르 방정식 $\det D^2u = f$의 전역적 $C^{2,\alpha}$ 정규성을, $\Omega$ 및 $\Omega^*$가 볼록 도메인인 조건 하에 자연 경계 조건 $Du(\Omega) = \Omega^*$를 갖도록 확립한다.
• 이전 문헌에서 전역적 $C^{2,\alpha}$ 정규성에 요구되었던 도메인의 균일 볼록성 조건을 제거한다.
• 최소한의 조건 하에서 전역적 $W^{2,p}$ 정규성을 증명한다. 특히 $f \in C^0(\overline{\Omega})$ 및 $C^{1,1}$ 경계 조건을 가정한다.
• 도메인이 균일 볼록이 아니더라도, 단지 볼록일 경우에도 $C^{1,1}$ 경계 정규성이 전역적 $C^{2,\alpha}$ 및 $W^{2,p}$ 추정에 충분함을 보인다.

제안 방법

• 해의 경계 근처 행동을 분석하기 위해 블로업(Blow-up) 기법을 사용하며, $u$의 부분집합 집합을 정규화하여 극한 형태를 연구한다.
• 연속성의 방법과 반복적 추정을 적용하여 다양한 척도에서 $D^2u$의 진동을 제어한다.
• 기하학적 및 해석적 추정을 통해 경계에서 균일한 기울기성과 탄성 $C^{1,\alpha}$ 정규성을 확립한다.
• 도메인의 이진 분할과 반복적 제어를 통해 $u_k$라는 근사 함수의 시퀀스를 통해 이차 도함수를 제어하며, $f$의 연속성 모듈러스 $\omega(r)$에 따른 오차 한계를 설정한다.
• $f$의 허더 연속성에 기반하여 $\omega(r)/r$ 및 $\omega(r)/r^2$의 적분 bound를 이용해 $|D^2u(z) - D^2u(0)|$의 차이를 추정함으로써, 경계에서 $D^2u$의 허더 연속성을 증명한다.
• $D^2u$의 균일 유계성 조건을 활용하여 $\varepsilon$-손실이 없는 $C^{2,\alpha}$ 추정으로 $C^{2,\alpha-\varepsilon}$ 추정을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일 볼록성 조건 없이 몽체-암페르 방정식에 대해 자연 경계 조건을 갖는 전역적 $C^{2,\alpha}$ 정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 도메인이 단지 볼록할 경우, $C^{1,1}$ 경계 정규성이 전역적 $C^{2,\alpha}$ 및 $W^{2,p}$ 추정에 충분한가?
• RQ3 전역적 이阶 도함수 정규성을 보장하기 위해 경계 자료와 우변 $f$의 최선의 정규성 임계값은 무엇인가?
• RQ4 $C^{1,1}$ 경계 조건을 $C^{1,1-\theta}$로 약화시킬 수 있는가? 이 경우, $u$의 적절한 스무스함 조건 하에서 전역 정규성 추정이 유지되는가?
• RQ5 도메인이 볼록하고 $C^{1,1}$ 경계를 갖는 경우, $f \in C^0(\overline{\Omega})$ 이면 전역 $W^{2,p}$ 추정이 성립하는가?

주요 결과

• 몽체-암페르 방정식 $\det D^2u = f$에 대해 자연 경계 조건 $Du(\Omega) = \Omega^*$를 갖는 전역적 $C^{2,\alpha}$ 정규성이, $\Omega$ 및 $\Omega^*$가 유계 볼록 도메인이고 경계가 $C^{1,1}$이며, $f \in C^{\alpha}(\overline{\Omega})$ 이고 양수일 때 확립된다.
• 이전 문헌에서 요구되었던 도메인의 균일 볼록성 조건이 제거되었으며, 단지 볼록성만으로도 전역적 $C^{2,\alpha}$ 정규성이 성립함을 보였다.
• $f \in C^0(\overline{\Omega})$ 이고 도메인이 볼록하며 $C^{1,1}$ 경계를 갖는 경우, 모든 $p \geq 1$ 에 대해 전역적 $W^{2,p}$ 추정이 성립한다.
• $f$가 딘니 연속일 경우, 허더 연속성이 없더라도 이차 도함수 $D^2u$는 경계까지 연속임을 보였다.
• 증명 과정에서 $C^{1,1}$ 경계 정규성이 $C^{1,1-\theta}$로 약화될 수 있음을 보였으며, 이는 해가 전역적으로 $C^{1,\delta}$ 스무스일 경우에 해당한다.
• 결과는 차원 2에서 $C^{1,\alpha}$ 경계로 확장되며, 이 방법은 볼록 도메인의 변형에 적용 가능하여, 소규모 비볼록성 편향 조건 하에서도 해의 스무스함을 보장한다.