[논문 리뷰] Global solvability and stability to a nutrient-taxis model with porous medium slow diffusion

Chunhua Jin, Yifu Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 11.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 3차원 영양소-티악스 모델에 대해 다공성 미디엄 확산($m > \frac{11}{4} - \sqrt{3} \approx 1.018$)을 고려하여 다양한 생물학적으로 관련 있는 조건 하에서 약한 해의 전역 존재성과 유계성을 확립한다. 또한 해의 장기적 안정성을 입증하고, 화학유인-스토크스 체계로 결과를 확장하여 $m \in (\frac{11}{4}-\sqrt{3}, \frac{9}{8})$ 범위에서의 공백을 메운다.

ABSTRACT

In this paper, we study a nutrient-taxis model with porous medium slow diffusion \begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &u_t=Δu^m-χ abla\cdot(u abla v)+ξuv-ρu, \\ &v_t-Δv=-vu+μv(1-v), \end{aligned} ight. \end{align*} in a bounded domain $Ω\subset \mathbb R^3$ with zero-flux boundary condition. It is shown that for any $m>\frac{11}4-\sqrt 3$,the problem admits a global weak solution for any large initial datum. We divide the study into three cases,(i) $ξμ=0, ρ\ge 0$; (ii) $ξμρ>0$; (iii) $ξμ>0$, $ρ=0$. In particular, for Case (i) and Case (ii), the global solutions are uniformly bounded. Subsequently, the large time behavior of these global bounded solutions are also discussed. At last, we also extend the results to the coupled chemotaxis-Stokes system. Important progresses for chemotaxis-Stokes system with $m>\frac 76$, $m>\frac 87$ and $m>\frac 98$ have been carried out respectively by \cite{W2, TW2, W3}, but leave a gap for $1

연구 동기 및 목표

• 3차원 공간에서 다공성 미디엄 확산을 고려한 영양소-티악스 모델에 대해 약한 해의 전역 존재성과 유계성을 확립하는 것.
• 다양한 생물학적 매개변수 조건 하에서 전역 해의 장기적 행동을 분석하는 것: (i) $\xi\mu=0$, $\rho\geq 0$; (ii) $\xi\mu\rho>0$; (iii) $\xi\mu>0$, $\rho=0$.
• 결과를 연합된 화학유인-스토크스 체계로 확장하여, 특히 $m \in (\frac{11}{4}-\sqrt{3}, \frac{9}{8})$ 범위에서의 공백을 메우는 것.

제안 방법

• 유한 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 내에서 영점 유량 경계 조건을 갖는 시스템 $u_t = \Delta u^m - \chi\nabla\cdot(u\nabla v) + \xi uv - \rho u$, $v_t - \Delta v = -vu + \mu v(1-v)$ 를 분석한다.
• 정규화된 근사 방법을 사용하여 $\varepsilon > 0$ 를 매개변수로 삼아 왜곡된 시스템의 고전적 해를 구성한다.
• 에너지 방법, 최대 정규성 이론, 모저 반복 기법을 활용하여 $\varepsilon$ 에 대해 일관된 추정치를 도출한다.
• 보간법과 임bedding 정리(임베딩 정리)를 이용하여 $n_\varepsilon$, $c_\varepsilon$, $u_\varepsilon$ 에 대한 $L^\infty$ 유계성을 확립한다.
• 콤���트성 추론을 적용하고 $\varepsilon \to 0$ 의 극한을 취하여 전역 약한 해를 도출한다.
• $L^r$ 및 $H^1$ 추정치를 사용하여 비선형 항을 제어하고 해의 일관된 유계성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다공성 미디엄 확산을 고려한 영양소-티악스 모델에서 $m > 1$ 의 어떤 범위에서 임의의 큰 초기 자료에 대해 전역 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 $\xi$, $\mu$, $\rho$ 에 어떤 조건이 성립할 경우 전역 해가 시간에 대해 일관되게 유계가 유지되는가?
• RQ3 세 가지 별개의 생물학적 경우에서 전역 유계 해의 장기적 행동은 어떠한가?
• RQ4 포아르바닉-타원형 영양소-티악스 모델에 대한 결과를 화학유인-스토크스 체계로 확장할 수 있는가?
• RQ5 기존에 알려진 3차원 화학유인-스토크스 체계에서 전역 해가 존재하는 $m$ 의 범위에서 분석이 공백을 메우는가?

주요 결과

• 모든 $m > \frac{11}{4} - \sqrt{3} \approx 1.018$ 에 대해, 임의의 큰 초기 자료가 존재하더라도 전역 약한 해가 존재한다.
• $\xi\mu=0$, $\rho\geq 0$ 또는 $\xi\mu\rho>0$ 인 경우 해는 시간에 대해 일관되게 유계이며, 폭발이 발생하지 않음을 보장한다.
• $\xi\mu>0$, $\rho=0$ 인 경우 전역 해는 존재하지만 반드시 일관되게 유계가 되는 것은 아니다.
• 유계 해의 장기적 행동이 분석되었으며, 공간적으로 균일한 평형 상태로 수렴하는 것으로 나타났다.
• 결과는 화학유인-스토크스 체계로 확장되며, $m \in (\frac{11}{4}-\sqrt{3}, \frac{9}{8})$ 범위에서의 공백을 메운다.
• 정규화 매개변수 $\varepsilon$ 와 무관하게 $L^{r+1}$, $H^1$, $W^{2,1}_p$ 공간에서의 일관된 추정치가 확립되었다.