[논문 리뷰] Global stability of almost periodic solutions of monotone sweeping processes and their response to non-monotone perturbations

Mikhail Kamenskiĭ, Oleg Makarenkov외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 20.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 41인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 거의 주기적인 시간에 따라 변화하는 제약 조건과 외란을 가진 단조성 있는 스위핑 과정에서 거의 주기적 해의 전역 지수 안정성을 확립한다. 또한 이러한 해가 광범위한 비단조성 외란에 대해서도 유지됨을 보이며, 미분기하학적, 비주기적 시스템의 안정성 이론을 비연속적이고 비주기적인 시스템, 예를 들어 탄성플라스틱성 및 전기 회로에 응용 가능하게 확장한다.

ABSTRACT

We develop a theory which allows making qualitative conclusions about the dynamics of both monotone and non-monotone Moreau sweeping processes. Specifically, we first prove that any sweeping processes with almost periodic monotone right-hand-sides admits a globally exponentially stable almost periodic solution. And then we describe the extent to which such a globally stable solution persists under non-monotone perturbations.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하고 거의 주기적인 제약 조건과 외란을 가진 스위핑 과정에 대한 안정성 이론을 개발한다.
• 외란에 대한 단조성 조건 하에서 거의 주기적 해의 존재성과 전역 지수 안정성을 확립한다.
• 기존의 고전적 단조성 미분포함수 이론을 넘어서 비단조성 외란 하에서도 안정성이 유지되는지 분석한다.
• 서로 다른 주기를 가진 제약 조건과 외란 함수를 가진 시스템에 적용 가능한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 균일하게 유계인 리프시츠 제약 조건과 외란을 가진 스위핑 과정에 대해 R 위에서 전역 해의 존재성을 증명하며, 단조성 조건을 요구하지 않는다.
• f(t,x)에 대한 단조성 조건에서 유도된 미분부등식을 통해 해의 증분 안정성과 유일성을 확립한다.
• 그론발-벨리먼 보조정리를 적용하여 해의 차이의 지수 감쇠를 유도함으로써 전역 지수 안정성을 확보한다.
• C(t)와 f(t,x)의 거의 주기성을 활용하여 단조성 조건 하에서 유일한 거의 주기적 해의 존재성을 증명한다.
• 비단조성 외란에 대한 강건성 분석을 위해 미분포함수 이론과 평균화 이론 기법을 활용한다.
• 콤���트성 논증과 R 위에서의 해의 수렴성을 활용하여 장기적 안정성 성질을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 주기적인 단조성 있는 우변을 가진 스위핑 과정은 전역적으로 지수적으로 안정한 거의 주기적 해를 갖는가?
• RQ2 비단조성 외란 하에서 이러한 해의 안정성은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 제약 조건과 외란 함수에 서로 다른 주기가 존재하는 시스템은 이 이론으로 다룰 수 있는가?
• RQ4 단조성 조건이 완화되었을 때 안정성 유지에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ5 결과는 상태에 의존하는 볼록 제약 조건이나 더 복잡한 동역학 시스템으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 거의 주기적인 단조성 있는 우변을 가진 모든 스위핑 과정은 유일한 전역 지수 안정성의 거의 주기적 해를 갖는다.
• 해의 안정성은 광범위한 비단조성 외란에 대해 유지되며, 실용적 응용에서 강건성을 보장한다.
• 해의 차이의 지수 감쇠 비율은 단조성 상수 α로 정량화되며, ‖x₁(t)−x₂(t)‖² ≤ e⁻²α(t−t₀)‖x₁(t₀)−x₂(t₀)‖² 를 만족한다.
• 이 이론은 제약 조건 C(t)와 외란 f(t,x)가 서로 다른 주기를 가질 경우에도 적용 가능하며, 공통 주기를 요구하지 않는다.
• 이론의 증명은 비연속적인 우변을 가진 미분포함수에 대해 그론발-벨리먼 보조정리를 새로운 방식으로 적용하는 데 기반한다.
• 기존의 평형점에 대한 안정성 결과를 비연속적이고 비자율적인 시스템에서 거의 주기적 해로 일반화한다.