[논문 리뷰] Global well-posedness for two-dimensional flows of viscoelastic rate-type fluids with stress diffusion

Miroslav Bulíček, Josef Málek외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 01.

Rheology and Fluid Dynamics Studies참고 문헌 28인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 목적 도함수와 Oldroyd-B 및 Giesekus 특성을 결합한 강력한 구성 모델을 사용하여 응력 확산이 있는 점탄성률 유형 유체의 2차원 유동에 대해 전역 적으로 잘 정의된 해가 존재함을 확립한다. 초기 자료와 외력이 L² 공간에 속할 경우, 유일한 전역적으로 정의된 약한 해가 존재하며, 초기 자료가 충분히 스무스할 경우 응력 텐서 B의 전체 정규성과 양의 정규성도 유지됨을 증명한다.

ABSTRACT

We consider the system of partial differential equations governing two-dimensional flows of a robust class of viscoelastic rate-type fluids with stress diffusion, involving a general objective derivative. The studied system generalizes the incompressible Navier--Stokes equations for the fluid velocity $v$ and pressure $p$ by the presence of an additional term in the constitutive equation for the Cauchy stress expressed in terms of a positive definite tensor $B$. The tensor $B$ evolves according to a diffusive variant of an equation that can be viewed as a combination of corresponding counterparts of Oldroyd-B and Giesekus models. Considering spatially periodic problem, we prove that for arbitrary initial data and forcing in appropriate $L^2$ spaces, there exists a unique globally defined weak solution to the equations of motion, and more regular initial data and forcing launch a more regular solution with $\bs B$ positive definite everywhere.

연구 동기 및 목표

• 응력 확산이 있는 점탄성률 유형 유체의 2차원 유동에 대해 전역 적으로 잘 정의된 해를 확립한다.
• 나비에-스토크스 방정식을 초월하여 복잡한 유체 모델의 수학적 기초를 대규모 자료와 장기적 거동에 대해 확장한다.
• L² 공간에서 일반적인 초기 자료와 외력 조건 하에서 약한 해의 존재성, 유일성 및 전역 정규성을 입증한다.
• 초기 자료가 스무스할 경우 응력 텐서 B(탄성 에너지를 모델링함)의 양의 정규성(global positive definiteness)이 전역적으로 유지됨을 보장한다.
• 이전의 3차원 결과를 2차원 사례로 일반화하여, 소형 조건 없이 더 강력한 정규성과 전역 존재성을 달성한다.

제안 방법

• 공간 주기적 경계 조건을 갖는 2차원 토러스 T²에서 시스템을 수립한다.
• 상위-컨벡티드 매크스, 조울만–자렘바, 골드먼–쇼와르터 도함수를 특수 케이스로 포함하는 일반적인 목적 시간 도함수 ⋄B를 사용한다.
• 비선형성과 B의 가역성 보장을 위해 시스템의 ǫ-정규화된(regularized) 버전을 활용한다.
• Aubin–Lions 보조정리와 Banach–Alaoglu 정리를 적용하여 근사해의 강한 수렴과 약한 수렴을 추출한다.
• 정규화된 시스템에 대해 에너지 항등식 (A.10)을 유도하여 에너지와 소산 항의 강력한 코ercivity를 확보한다.
• Fatou의 보조정리와 ρǫ(Bǫ) → 1 거의 모든 곳에서의 점별 수렴을 사용하여 극한을 취하고 원래 시스템을 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 응력 확산과 일반 목적 도함수를 고려한 2차원 점탄성률 유체에 대해 전역적으로 정의된 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 초기 자료가 스무스할 경우 응력 텐서 B의 전역 정규성과 양의 정규성이 항상 유지되는가?
• RQ3 임의의 L² 초기 자료와 외력 조건 하에서 해가 유일하고 안정적인가?
• RQ4 β ∈ (0,1) 조건 하에서 2차원 사례에서 에너지 균형과 코ercivity 구조가 유지되어 수학적 강건성을 확보하는가?
• RQ5 모델이 응력 완화와 시어 밴딩의 물리적 특성을 유지하면서도 전역 적으로 잘 정의된 해를 보장하는가?

주요 결과

• 모든 초기 자료가 L²에 속하고 외력이 L²(0,T; H⁻¹)에 속할 경우, 소형 조건 없이 전적으로 정의된 유일한 약한 해가 존재한다.
• 해는 v ∈ C([0,T]; L²), B ∈ C([0,T]; L²), ∇v, ∇B ∈ L²(0,T; L²)를 만족하여 강력한 정규성을 보장한다.
• 초기 자료가 스무스할 경우 ǫ-정규화와 극한 과정 덕분에 모든 시간에 걸쳐 응력 텐서 B가 거의 모든 곳에서 양의 정규성을 유지한다.
• 정규화된 시스템에 대해 에너지 항등식 (A.10)이 성립하며, 강력한 소산 항으로 인해 안정성과 수렴성이 보장된다.
• 극한 해 (v,B)는 원래 시스템 (2.1)–(2.2)를 약한 의미에서 만족하며, 모든 관련 항의 수렴이 성립한다.
• 모델은 Oldroyd-B, Giesekus, Johnson–Segalman 모델의 확산형을 특수 케이스로 포함하며, 모든 경우에 대해 전역 적으로 잘 정의된 해가 확립된다.