[논문 리뷰] Gr\"{o}bner-Shirshov bases for plactic monoids

L. A. Bokut, Yuqun Chen외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 23.

Rings, Modules, and Algebras인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 행과 열 생성자를 사용하여 플라틱 대수의 그뢰브너-شير쇼프 기저를 제시하며, 조합-다이아몬드 보조정리에 의해 양-테이블로가 선형 기저를 이룬다는 것을 확립한다. 알파벳이 유한할 경우 열 생성자를 사용한 유한한 그뢰브너-셔쇼프 기저는 플라틱 모노이드의 원소들이 양-테이블로 정규형을 갖는다는 새로운 대수적 증명을 제공하며, 쿤스의 1970년 결과를 확인한다.

ABSTRACT

We present the plactic algebra on an arbitrary alphabet set $A$ by row generators and column generators respectively. We give Grobner-Shirshov bases for such presentations. In the case of column generators, a finite Grobner-Shirshov basis is given if $A$ is finite. From the Composition-Diamond lemma for associative algebras, it follows that the set of Young tableaux is a linear basis of plactic algebra. As the result, it gives a new proof that Young tableaux are normal forms of elements of plactic monoid. This result was proved by D.E. Knuth \cite{Knuth} in 1970, see also Chapter 5 in \cite{M.L}.

연구 동기 및 목표

• 임의의 알파벳에 대한 플라틱 대수를 행 생성자와 열 생성자를 모두 사용하여 제시하기.
• 이 플라틱 대수의 표현에 대한 그뢰브너-셔쇼프 기저를 확립하기.
• 조합-다이아몬드 보조정리를 통해 양-테이블로의 집합이 플라틱 대수의 선형 기저를 이룬다는 것을 보여주기.
• 플라틱 모노이드의 원소들이 양-테이블로 정규형을 갖는다는 새로운 대수적 증명을 제공하기.
• 알파벳이 유한할 경우 열 생성자 표현에 대해 유한한 그뢰브너-셔쇼프 기저가 존재함을 보여주기.

제안 방법

• 논문은 결합 대수학을 위한 조합-다이아몬드 보조정리를 사용하여 제시된 대수를 분석한다.
• 플라틱 대수의 두 가지 표현을 도입한다: 하나는 행 생성자를 사용하고, 다른 하나는 열 생성자를 사용한다.
• 두 표현 모두에 대해 그뢰브너-셔쇼프 기저를 구성하며, 특히 열 생성자 케이스에 중점을 둔다.
• 유한한 알파벳인 경우, 열 생성자 표현은 유한한 그뢰브너-셔쇼프 기저를 유도한다.
• 대수의 정규형이 정확히 양-테이블로에 대응됨을 보여준다.
• 비가환 다항식 축소의 관점에서 플라틱 모노이드의 대수적 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 플라틱 대수에 대해 행 생성자를 사용하여 그뢰브너-셔쇼프 기저를 구성할 수 있는가?
• RQ2 플라틱 대수에 대해 열 생성자를 사용하여 그뢰브너-셔쇼프 기저를 구성할 수 있는가?
• RQ3 조합-다이아몬드 보조정리가 양-테이블로의 집합이 플라틱 대수의 선형 기저를 이룬다는 것을 암시하는가?
• RQ4 알파벳이 유한하고 열 생성자를 사용할 경우 그뢰브너-셔쇼프 기저가 유한한가?
• RQ5 이 방법을 통해 플라틱 모노이드의 원소의 정규형이 양-테이블로로 대수적으로 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 조합-다이아몬드 보조정리에 의해 양-테이블로의 집합이 플라틱 대수의 선형 기저를 이룬다.
• 알파벳이 유한하고 열 생성자를 사용할 경우 플라틱 대수에 대해 유한한 그뢰브너-셔쇼프 기저가 존재한다.
• 플라틱 모노이드의 대수적 구조는 열 생성자에 대한 그뢰브너-셔쇼프 기저에 의해 완전히 기술된다.
• 플라틱 모노이드의 원소의 정규형은 정확히 양-테이블로이며, 이는 쿤스의 결과를 새로운 방법으로 확인한다.
• 행 생성자와 열 생성자의 사용은 동일한 구조적 결과를 갖는 플라틱 대수의 이중 표현을 제공한다.