[논문 리뷰] Gradient blow-up rates and sharp gradient estimates for diffusive Hamilton-Jacobi equations

Amal Attouchi, Philippe Souplet|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 02.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 47인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $2 < p < 3$ 인 경우 유계 볼록 영역에서 미분형 해밀턴-자코비 방정식 $u_t - \Delta u = |\nabla u|^p + h(x)$ 의 고전적 해에 대해 날카른 기울기 폭발 속도를 확립하며, 시간 증가 해에 대해 최적의 시간 추정 $\|\nabla u(t)\|_\infty \sim (T-t)^{-1/(p-2)}$ 를 증명한다. 이는 공간적 및 시간적 폭발 행동을 처음으로 연결하는 날카운 거칠기 상수를 포함한 새로운 베르너스타인 유형의 기울기 추정을 도입한다.

ABSTRACT

Consider the diffusive Hamilton-Jacobi equation $$u_t-\\Delta u=|\ abla u|^p+h(x)\\ \\ \ ext{ in } \\Omega\ imes(0,T)$$ with Dirichlet conditions, which arises in stochastic control problems as well as in KPZ type models. We study the question of the gradient blowup rate for classical solutions with $p&gt;2$. We first consider the case of time-increasing solutions. For such solutions, the precise rate was obtained by Guo and Hu (2008) in one space dimension, but the higher dimensional case has remained an open question (except for radially symmetric solutions in a ball). Here, we partially answer this question by establishing the optimal estimate $$C_1(T-t)^{-1/(p-2)}\\leq \\|\ abla u(t)\\|_{\\infty} \\leq C_2(T-t)^{-1/(p-2)} \ ag{1}$$ for time-increasing gradient blowup solutions in any convex, smooth bounded domain $\\Omega$ with $2&lt;p&lt;3$. We also cover the case of (nonradial) solutions in a ball for $p=3$. Moreover we obtain the almost sharp rate in general (nonconvex) domains for $2&lt;p\\le 3$. The proofs rely on suitable auxiliary functionals, combined with the following, new Bernstein-type gradient estimate with sharp constant: $$|\ abla u|\\le d_\\Omega^{-1/(p-1)}\\bigl(d_p+C d_\\Omega^\\alpha\\bigr) \\ \\ \ ext{ in } \\Omega\ imes(0,T),\\qquad d_p=(p-1)^{-1/(p-1)}, \ ag{2}$$ where $d_\\Omega$ is the function distance to the boundary. This close connection between the temporal and spatial estimates (1) and (2) seems to be a completely new observation. Next, for any $p&gt;2$, we show that more singular rates may occur for solutions which are $\ extit{not}$ time-increasing. Namely, for a suitable class of solutions in one space-dimension, we prove the lower estimate $\\|u_x(t)\\|_\\infty \\geq C(T-t)^{-2/(p-2)}$.

연구 동기 및 목표

• 미분형 해밀턴-자코비 방정식에 대해 $p>2$ 인 경우 공간 기울기의 정확한 시간 폭발 속도를 규명하는 것.
• 기존의 일차원 기울기 폭발 속도를 고차원 볼록 영역으로 확장하는 것.
• 경계까지의 거리에 영향을 받는 최적 상수를 포함한 새로운 날카운 베르너스타인 유형의 기울기 추정을 수립하는 것.
• 시간 증가가 아닌 해를 분석하고 더 극단적인 폭발 속도를 규명하는 것.
• 새로운 함수적 추정을 통해 공간적 및 시간적 기울기 폭발 행동 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 새로운 베르너스타인 유형의 기울기 추정 도출: $|\nabla u| \leq d_\Omega^{-1/(p-1)}\bigl{(}d_p + C d_\Omega^\alpha\bigr{)}$ 를 포함하며, 여기서 $d_p = (p-1)^{-1/(p-1)}$ 이고, $d_\Omega$ 는 경계까지의 거리이다.
• $\|\nabla u(t)\|_\infty$ 의 진화를 제어하고 상한 및 하한을 유도하기 위해 보조 함수수를 구성하는 것.
• 최대값 원리를 적용하여 시간 도함수 $u_t$ 를 제어하고, 폭발 시간 근처에서의 그 소멸 속도 상한을 도출하는 것.
• 일차원에서 최소 기울기 폭발 해에 대해 대칭성과 0-수 속성을 활용하여 날카운 하한을 확립하는 것.
• 새로운 기울기 추정과 시간에 의존하는 에너지 유형 추정을 조합하여 최적의 폭발 속도를 도출하는 것.
• 최소 해에 대해 $t=T$ 근처에서 $u_t$ 의 행동을 분석하여 $u_t \leq M(T-t)$ 를 보이고, 이는 $\|\nabla u(t)\|_\infty$ 에 대한 더 날카운 하한을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 볼록 영역에서 시간 증가 해에 대해 $2 < p < 3$ 인 경우 $\|\nabla u(t)\|_\infty$ 의 정확한 시간 폭발 속도는 무엇인가?
• RQ2 경계까지의 거리 의존성을 포함한 날카운 기울기 추정이 일반 영역에서 최적의 폭발 속도 유도에 사용될 수 있는가?
• RQ3 시간 증가가 아닌 해는 표준 $(T-t)^{-1/(p-2)}$ 속도보다 더 극단적인 기울기 폭발 속도를 보이는가?
• RQ4 공간적 및 시간적 폭발 행동 간의 상호작용이 기울기 추정에서 어떻게 나타나는가?
• RQ5 초기 자료와 해의 대칭성은 폭발 프로파일과 속도를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 시간 증가 해에 대해 $2 < p < 3$ 인 볼록이고 매끄러운 유계 영역에서 기울기 폭발 속도는 최적으로 추정되며, $C_1(T-t)^{-1/(p-2)} \leq \|\nabla u(t)\|_\infty \leq C_2(T-t)^{-1/(p-2)}$ 로 표현된다.
• 이 논문은 $p \in (2,3)$ 인 고차원에서 최초로 날카운 시간 폭발 속도를 확립하며, 이는 이전의 일차원 결과를 확장한다.
• 최적 상수를 포함한 새로운 베르너스타인 유형의 기울기 추정이 유도되며: $|\nabla u| \leq d_\Omega^{-1/(p-1)}\bigl{(}(p-1)^{-1/(p-1)} + C d_\Omega^\alpha\bigr{)}$, 이는 분석에 핵심적이다.
• 일차원에서 시간 증가가 아닌 해에 대해 더 극단적인 폭발 속도가 입증된다: $\|u_x(t)\|_\infty \geq C(T-t)^{-2/(p-2)}$.
• 공간 기울기 추정과 시간 폭발 속도 간의 관계는 새로운 핵심 통찰으로 규명된다.
• 증명은 $u_t$ 에 대한 정교한 상한 추정에 기반하며, 최소 기울기 폭발 해에 대해 $u_t \leq M(T-t)$ 를 보이고, 이는 더 날카운 하한 유도를 가능하게 한다.