[논문 리뷰] Graph Searches and Their End Vertices

Yixin Cao, Zhifeng Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Algorithms and Data Compression인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 호프랄 및 관련 그래프에서 다양한 그래프 탐색의 끝 정점에 대한 종합적인 특성 분석을 제공한다. 호프랄 그래프에서 최대 카디널리티 탐색(MCS)에 대한 다항식 시간 알고리즘과 간격 그래프에서 BFS에 대한 선형 시간 알고리즘, 호프랄 그래프에서 사전순 DFS(LDFS)에 대한 선형 시간 알고리즘을 제시하며, 약한 호프랄 그래프에서 MCS에 대한 NP-완전성과 일반 그래프에 대한 2^n · n^O(1)-시간 알고리즘을 입증한다.

ABSTRACT

Graph search, the process of visiting vertices in a graph in a specific order, has demonstrated magical powers in many important algorithms. But a systematic study was only initiated by Corneil et al. a decade ago, and only by then we started to realize how little we understand it. Even the apparently naïve question "which vertex can be the last visited by a graph search algorithm," known as the end vertex problem, turns out to be quite elusive. We give a full picture of all maximum cardinality searches on chordal graphs, which implies a polynomial-time algorithm for the end vertex problem of maximum cardinality search. It is complemented by a proof of NP-completeness of the same problem on weakly chordal graphs. We also show linear-time algorithms for deciding end vertices of breadth-first searches on interval graphs, and end vertices of lexicographic depth-first searches on chordal graphs. Finally, we present 2^n * n^O(1)-time algorithms for deciding the end vertices of breadth-first searches, depth-first searches, and maximum cardinality searches on general graphs.

연구 동기 및 목표

• 호프랄 그래프에서 최대 카디널리티 탐색(MCS)에 대한 끝 정점 문제를 해결하기 위해.
• 약한 호프랄 그래프에서 다양한 그래프 탐색에 대한 끝 정점 문제의 복잡도를 규명하기 위해.
• 간격 그래프에서 BFS의 끝 정점과 호프랄 그래프에서 LDFS의 끝 정점에 대한 선형 시간 알고리즘을 개발하기 위해.
• 임의의 그래프에서 BFS, DFS, MCS, MNS에 대한 끝 정점 문제에 일반적인 2^n · n^O(1)-시간 알고리즘을 제공하기 위해.
• 핵심 그래프 클래스와 탐색 유형 간의 끝 정점 문제의 복잡도 지형도를 완성하기 위해.

제안 방법

• BFS 순서 제약 조건을 추적하기 위해 정점 집합과 레벨을 사용하는 재귀적 동적 프로그래밍 공식을 제안한다.
• 이웃 및 인접 조건에 기반하여 BFS에서 유효한 정점 방문 순서를 결정하기 위해 함수 f(Xi, ui)를 사용하는 재귀적 함수를 적용한다.
• 접속성 및 순서 조건을 포함한 부분집합 X와 끝점 s, t를 사용하여 DFS에 대해 유사한 재귀적 분해를 적용한다.
• 유효한 DFS 순서를 검증하기 위해 재귀 공식 f(X, s, t) = ∨_{v∈(N(t)∩X)‑{s}} ∨_{Y⊇(N[t]∩X)‑{s}} [f((X\Y)∪{v}, s, v) ∧ f(Y, v, t)]를 활용한다.
• 호프랄 그래프의 구조적 특성과 최대 클리크를 통해 MCS 및 MNS에 대한 접근을 일반화한다.
• 레벨 기반 분해와 이웃 제약 조건을 활용하여 BFS 및 DFS 순회 순서를 체계적으로 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프랄 그래프에서 최대 카디널리티 탐색(MCS)에서 마지막으로 방문할 수 있는 정점는 무엇인가?
• RQ2 약한 호프랄 그래프에서 MCS에 대한 끝 정점 문제는 NP-완전한가?
• RQ3 간격 그래프에서 BFS의 끝 정점은 선형 시간에 계산할 수 있는가?
• RQ4 호프랄 그래프에서 사전순 DFS(LDFS)에 대한 끝 정점 문제의 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 임의의 그래프에서 일반 그래프 탐색에 대한 끝 정점 문제의 시간 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 호프랄 그래프에서 최대 카디널리티 탐색(MCS)에 대한 끝 정점 문제에 다항식 시간 알고리즘을 제시한다.
• 약한 호프랄 그래프에서 MCS에 대한 끝 정점 문제는 NP-완전하다.
• 간격 그래프에서 BFS의 끝 정점과 호프랄 그래프에서 LDFS의 끝 정점에 대한 선형 시간 알고리즘을 개발한다.
• 일반 그래프에서 BFS, DFS, MCS, MNS에 대한 끝 정점 문제에 2^n · n^O(1)-시간 알고리즘을 제공한다.
• 이 논문은 여섯 종류의 그래프 탐색 알고리즘과 네 종류의 그래프 클래스에 걸쳐 끝 정점 문제의 복잡도 분류를 완성한다.
• 특히 MCS 및 LDFS에 대해 열려 있던 호프랄 및 약한 호프랄 그래프 문제를 해결한다.