[논문 리뷰] Graph States Under the Action of Local Clifford Group in Non-Binary Case

Mohsen Bahramgiri, Salman Beigi|arXiv (Cornell University)|2006. 10. 31.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 d > 2인 qudit에 대해 비이sov모르적이고 국소 클리포드 군에 의해 등가가 아닌 그래프 상태의 수에 하한을 설정하며, 비이진 경우로 국소 클리포드 군 작용을 그래프 연산으로 일반화하고, 안정자 행렬의 선형 대수적 조건을 통한 두 비이진 그래프 상태 간의 국소 등가성을 확인하는 다항식 시간 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

Graph states are well-entangled quantum states that are defined based on a graph. Of course, if two graphs are isomorphic their associated states are the same. Also, we know local operations do not change the entanglement of quantum states. Therefore, graph states that are either isomorphic or equivalent under the local Clifford group have the same properties. In this paper, we first establish a bound on the number of graph states which are neither isomorphic nor equivalent under the action of local Clifford group. Also, we study graph states in non-binary case. We translate the action of local Clifford group, as well as measurement of Pauli operators, into transformations on their associated graphs. Finally, we present an efficient algorithm to verify whether two graph states, in non-binary case, are locally equivalent or not.

연구 동기 및 목표

• 비이진 경우에서 서로 이sov모르적이고 국소 클리포드 군에 의해 등가가 아닌 그래프 상태의 수에 하한을 설정하기 위해.
• 이중성의 경우(d=2)에서 그래프 상태에 대한 국소 클리포드 군 작용을 qudit(d>2)로 일반화하여 그래프 연산으로 번역하기 위해.
• 이중성 설정에서 파울리 측정의 그래프 변환에 기반한 특성화를 비이진 설정으로 확장하기 위해.
• 두 비이진 그래프 상태 간의 국소 등가성을 확인하기 위한 효율적인 알고리즘 개발하기 위해.
• 모든 안정자 상태가 비이진 경우에 국소 클리포드 군에 의해 등가인 그래프 상태로 표현 가능하다는 것을 보여주기 위해, 이중성 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 그래프 상태를 행렬 형태 (Idₙ | M)로 표현하며, 여기서 M은 그래프의 인접성을 코딩한다.
• qudit에 대한 국소 클리포드 연산자의 작용을 심플렉틱 연산을 사용하여 그래프의 인접행렬 M에 대한 변환으로 번역한다.
• 각 qudit에 대해 EᵢF'ᵢ − FᵢE'ᵢ = 1을 만족하는 대각행렬 E, F, E', F'를 포함한 행렬 변환으로 국소 클리포드 연산을 모델링한다.
• 두 그래프 상태 간의 등가 조건을 𝔽_d 위에서 미지수 E, E', F, F'에 대한 선형방정식계(Eq. 1)로 제시한다.
• 해공간이 E×F' − E'×F = (1,1,…,1) (Eq. 2)를 만족해야 한다는 조건을 사용하여 국소 등가성을 테스트한다.
• 두 그래프가 등가일 경우 Eq. (1)의 해공간이 Eq. (2)를 만족하는 부차원 수 ≤5인 애핀 부분공간을 포함한다는 핵심 정리(정리 9)를 적용하여, 최대 5개의 기저벡터의 선형조합을 통한 다항식 시간 검증이 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d > 2일 때 n qudit에 대해 서로 이sov모르적이고 국소 클리포드 군에 의해 등가가 아닌 그래프 상태의 최소 수는 얼마인가?
• RQ2 국소 클리포드 군의 작용이 비이진 그래프 상태에 대해 그래프 연산의 관점에서 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 qudit에서의 파울리 측정이 비이진 설정에서 그래프 이론적 연산으로 번역될 수 있는가?
• RQ4 두 비이진 그래프 상태가 국소 클리포드 군에 의해 등가인지 확인하는 다항식 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 모든 qudit에 대한 안정자 상태가 국소 클리포드 군에 의해 등가인 그래프 상태 표현을 갖는가?

주요 결과

• 논문은 비이진 경우에서 서로 이sov모르적이고 국소 클리포드 군에 의해 등가가 아닌 그래프 상태의 수에 하한을 설정한다.
• 모든 qudit에 대한 안정자 상태가 국소 클리포드 군에 의해 등가인 그래프 상태로 표현 가능하다는 것을 증명하며, 이는 이중성 경우의 일반화이다.
• 국소 클리포드 군의 작용은 인접행렬 M에 대한 행렬 변환을 통해 완전히 특성화되며, 심플렉틱 유사 연산을 포함한다.
• 논문은 선형방정식계를 풀고 행렬식 조건을 확인하는 기반으로, 두 비이진 그래프 상태 간의 국소 등가성을 다항식 시간 내에 테스트할 수 있는 효율적인 알고리즘을 제공한다.
• 알고리즘은 두 그래프 상태가 등가일 경우 등가 조건 방정식의 해공간이 부차원 수가 최대 5인 애핀 부분공간을 포함한다는 사실에 기반하여, 효율적인 검증이 가능하다.
• 이 방법은 등가 문제를 최대 5개의 해공간 기저벡터의 선형조합을 확인하는 유한한 수의 검사로 환원하여 다항식 시간 복잡도를 보장한다.