[논문 리뷰] Grobner bases and extension of scalars

Dave Bayer, André Galligo외 1명|ArXiv.org|1992. 02. 20.

Advanced Numerical Analysis Techniques참고 문헌 4인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 Noetherian 환 A 위의 다항식환에서 스칼라 확장을 통한 그로버 기저의 행동을 조사하며, 기저 환 A 위의 이상 I에 대한 그로버 기저가 스칼라 확장 B에서 어떻게 그로버 기저를 유도하는지에 대한 조건을 수립한다. 주요 기여는 스칼라 확장이 초기 이상을 취하는 것과 가환함이 유일하게 평탄한 확장일 때 성립하며, 초기 이상의 계수 이상이 섬유에 대한 기하학적 정보를 담고 있어, 개방 부분집합에서의 동형사상과 유한 사상의 탐지가 가능하다는 것이다.

ABSTRACT

This paper studies the behavior of Grobner bases with respect to extensions of scalars. We prove that an extension of scalars commutes with taking Grobner bases iff the extension is flat. We consider what information can be deduced about fibers of a family, from the Grobner basis of the defining ideal of the family itself. This information can be used to construct algorithms, such as to find locii over which a map is finite, or an isomorphism.

연구 동기 및 목표

• 기저 환 A에서 Noetherian 환 A에서 다항식환으로의 스칼라 확장에서 그로버 기저의 행동을 이해하는 것.
• 기저 환 A 위의 이상 I ⊂ A[x]에 대한 그로버 기저가 스칼라 확장에 의해 I·B[x]에서 그로버 기저를 유도하는 조건을 특성화하는 것.
• I에 의해 정의된 가족의 섬유에 대한 기하학적 정보를 추출하기 위해 초기 이상 in(A)의 계수 이상을 사용하는 것.
• I에 의해 정의된 사상이 기하학적 구조에서 동형사상 또는 유한 사상이 되는 기저 스킴 상의 위치를 결정하는 것.
• I에 의해 정의된 가정이 기저 스킴에서 충실하게 평탄한 조건을 설정하며, 대수적 성질과 기하학적 구조를 연결하는 것.

제안 방법

• 단항식 순서가 동차성 및 양성 공리(axiom)를 만족하는 바탕에서, I의 원소들의 주도항을 이용해 A[x] 내의 초기 이상 in(A) ⊂ A[x]를 정의한다.
• in(I)의 계수 이상을 도입하며, 단항식 x^E에 대해 이는 in(I)에서 x^E로 나누어지는 모든 항의 계수들로 생성되는 A 내의 이상이다.
• 스칼라 확장 B/A에 대해, 확장이 초기 이상을 취하는 것과 가환함이 유일하게 B가 A-모듈러스로서 평탄할 때 성립함을 증명한다.
• 국소화와 계수 이상의 구조를 이용해 섬유 행동을 분석하며, 특히 사상의 상사성과 유한성과의 관계를 다룬다.
• 기본 스킴에서 사상이 동형사상이 되는 최대의 개방 부분집합(문자열 in(I)_x_i ≠ 0를 통해) 또는 유한 사상이 되는 부분집합(문자열 in(I)_{x_i^∞} = 1을 통해)을 특성화한다.
• 결과를 적용해, 초기 이상 in(I)와 그 계수 이상만을 사용해 동형사상, 유한 사상, 충실한 평탄성 등의 기하학적 성질을 탐지할 수 있음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 환 A 위의 이상 I ⊂ A[x]에 대한 그로버 기저가 B[x]로의 스칼라 확장 후에도 여전히 그로버 기저로 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 기본 스킴 Spec(A) 위에서 I에 의해 정의된 가정의 섬유에 대한 기하학적 성질과 초기 이상 in(I)의 계수 이상은 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 기본 스킴에서 사상이 동형사상 또는 유한 사상이 되는 정확한 위치는 어디인가?
• RQ4 I에 의해 정의된 가정이 기저 스킴에서 충실하게 평탄한 경우는 언제이며, 이는 초기 이상 in(I)의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 초기 이상 in(I)만으로도 기저 스킴의 '좋은' 점들에서의 섬유의 초기 이상을 결정할 수 있는가?

주요 결과

• 스칼라 확장 B/A가 초기 이상을 취하는 것과 가환함이 유일하게 확장 B가 A-모듈러스로서 평탄할 때 성립한다.
• I에 대한 그로버 기저는 I의 지지집합의 각 고립된 성분의 밀집된 개방 부분집합으로의 국소화에 대해 그로버 기저를 결정한다.
• 초기 이상 in(I)는 '좋은' 점들에서의 섬유의 초기 이상을 결정한다. 여기서 점 p ∈ Spec(A)가 '좋은' 점이라는 것은, in(I)의 각 계수 이상이 p를 피하거나 p의 지지집합 내에서 이웃을 포함한다는 것을 의미한다.
• 지지집합 X의 모든 점이 '좋은' 점이라면, I에 의해 정의된 가정은 X 위에서 충실하게 평탄하다.
• 사상 Y → X는 모든 계수 이상 in(I)_{x_i}가 소수 이상 p에 포함되지 않는 최대의 개방 부분집합에서 동형사상이며, 유한 사상은 모든 i에 대해 in(I)_{x_i^∞} = 1인 개방 부분집합에서 성립한다.
• 계수 이상 in(I)_{x_i^∞}는 사상이 유한해지는 위치를 탐지하며, 이 이상들은 계수 이상 in(I)_{x_i^e}의 오름차순 체인의 극한으로 계산될 수 있다.