[논문 리뷰] Gromov, Cauchy and causal boundaries for Riemannian, Finslerian and Lorentzian manifolds

José Luis Flores, Jónatan Herrera외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 04.

Advanced Differential Geometry Research인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유계 속도를 갖는 곡선과 관련된 Busemann 유형 함수를 사용하여 리만 및 페일러 맨폴드에 대한 새로운 Busemann 컴팩티피케이션 $M_B$를 도입하며, Cauchy 경계 $ partial_C M$, Gromov 경계 $ partial_G M$, 그리고 표준 conformally 정적 시공간의 인과 경계 $ partial V$ 사이에 자연스러운 연결 고리를 확립한다. 주요 기여는 이러한 시공간의 인과 경계 $ partial V$를 완전히 특성화한 것으로, 이 경계가 두 개의 Busemann 경계 $ partial_B^+M$ 및 $ partial_B^-M$의 합집합으로부터 유래되며, 적절한 위상 조건 하에서 이중콘 구조를 띤다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Recently, the old notion of causal boundary for a spacetime V has been redefined in a consistent way. The computation of this boundary $\partial V$ for a standard conformally stationary spacetime V = R x M, suggests a natural compactification $M_B$ associated to any Riemannian metric on M or, more generally, to any Finslerian one. The corresponding boundary $\partial_B M$ is constructed in terms of Busemann-type functions. Roughly, $\partial_B M$ represents the set of all the directions in M including both, asymptotic and "finite" (or "incomplete") directions. This Busemann boundary $\partial_B M$ is related to two classical boundaries: the Cauchy boundary and the Gromov boundary. Our aims are: (1) to study the subtleties of both, the Cauchy boundary for any generalized (possibly non-symmetric) distance and the Gromov compactification for any (possibly incomplete) Finsler manifold, (2) to introduce the new Busemann compactification $M_B$, relating it with the previous two completions, and (3) to give a full description of the causal boundary $\partial V$ of any standard conformally stationary spacetime.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 (비대칭일 수 있는) 거리 공간 및 완비되지 않은 페일러 맨폴드에 대해 Cauchy, Gromov, Busemann 경계를 체계적으로 연구하기 위해.
• 유계 속도를 갖는 곡선에서 유도된 Busemann 유형 함수를 사용하여 리만 및 페일러 맨폴드에 대한 새로운 Busemann 컴팩티피케이션 $M_B$를 정의하고 분석하기 위해.
• Busemann 경계와 고전적 Cauchy 및 Gromov 경계 사이의 정확한 관계를 확립하여 $\partial_C M \subset \partial_B M \subset \partial_G M$임을 보이고, $\partial_B M$에서 더 희박한 위상이 적용된다는 것을 보여주기 위해.
• 표준 conformally 정적 시공간 $V = \mathbb{R} \times M$의 인과 경계 $\partial V$를 공간 기저 $M$의 Busemann 컴팩티피케이션을 사용하여 완전히 묘사하기 위해.
• 특히 Cauchy 완비화의 국소 콪팩트성과 Busemann 완비화의 하우스도르프 성질을 보장하는 조건 하에서 $\partial V$의 위상적 및 인과적 구조를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 유계 속도를 갖는 곡선과 관련된 Busemann 함수의 동치류 집합으로서 Busemann 경계 $\partial_B M$를 정의하며, 두 곡선이 Busemann 함수의 차이가 상수일 경우에 동치로 간주한다.
• Gromov 위상보다 더 희박한 위상인, $M_B^+$ 및 $M_B^-$에 대한 역학적 위상을 도입하여 컴팩티피케이션에 자연스러운 인과적 구조를 부여한다.
• 앞서와 뒤로의 Cauchy 완비화 $M_C^+$ 및 $M_C^-$를 연결하기 위해 일반화된 준거리 $d_Q^+$를 사용하여 c-경계의 일관된 구성이 가능하도록 한다.
• 표준 정적 시공간 $V = \mathbb{R} \times M$의 인과 경계 $\partial V$를 $ partial_B^+M$ 및 $ partial_B^-M$ 위의 두 콘의 합집합으로 구성하며, 각각 $i^+$ 및 $i^-$에 꼬리가 있다.
• $\partial_C^+M \subset \partial_B^+M \subset \partial_G^+M$의 포함 관계를 확립하고, $\partial_B^+M$의 위상적 성질을 분석하며, 이의 콩팩트성과 하우스도르프 조건이 성립하는 경우를 포함한다.
• 정적 경우에 적용하여, Finsler 계량이 리만 계량으로 줄어들 때, $M_C$가 국소 콩팩트이고 $M_B$가 하우스도르프일 경우, Busemann 경계 $ partial_B^+M$ 및 $ partial_B^-M$이 일치하고 인과 경계 $ partial V$가 시간 역전에 대해 대칭적인 이중콘 구조를 갖는다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭이 완비되지 않거나 비대칭일 경우에도, 리만 또는 페일러 맨폴드에 대해 Busemann 컴팩티피케이션 $M_B$를 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 Cauchy 경계 $ partial_C M$, Gromov 경계 $ partial_G M$, 그리고 새로운 Busemann 경계 $ partial_B M$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 표준 conformally 정적 시공간 $V = \mathbb{R} \times M$의 인과 경계 $ partial V$는 기저 맨폴드 $M$의 Busemann 컴팩티피케이션으로부터 어떻게 유래되는가?
• RQ4 어떤 위상 조건 하에서 인과 경계 $ partial V$는 점 집합적으로나 위상적으로 이중콘 구조를 갖는가?
• RQ5 역학적 위상수학이 $M_B^+$ 및 $M_B^-$에 미치는 역할은 무엇이며, Gromov 및 Cauchy 위상과 비교해 볼 때 어떤가?

주요 결과

• Busemann 경계 $ partial_B M$는 $M$ 내에서 유계 속도를 갖는 곡선과 관련된 Busemann 함수의 동치류 집합으로 구성되며, Cauchy 경계와 Gromov 경계 사이에 자연스럽게 놓이는 컴팩티피케이션을 형성한다.
• 점 집합으로서 포함 관계 $\partial_C M \subset \partial_B M \subset \partial_G M$가 성립하며, $\partial_B M$의 위상은 Cauchy 및 Gromov 위상보다 엄밀히 더 희박하다.
• 표준 conformally 정적 시공간 $V = \mathbb{R} \times M$에 대해, 인과 경계 $ partial V$는 $ partial_B^+M$ 및 $ partial_B^-M$ 위의 두 콘의 합집합으로 완전히 묘사되며, 각각 $i^+$ 및 $i^-$에 꼬리가 있다.
• $\partial V$의 인과적 구조는 $\partial_C^+M$ 및 $\partial_C^-M$의 점들이 $S$-관계를 통해 짝지어지며, 점들이 $ partial_C^s M$에 속해 있는지 여부에 따라 시간적 또는 빛선(호리즘틱) 선으로 이어진다.
• 인과 경계 $ partial V$의 이중콘 구조는 $M_C$가 국소 콩팩트이고 $M_B$가 하우스도르프일 때에만 위상적으로 실현되며, 이는 경계가 점 집합적으로나 위상적으로 모두 단순함을 보장한다.
• 정적 경우에선 Finsler 계량이 리만 계량으로 줄어들며, $ partial_B^+M$ 및 $ partial_B^-M$이 일치하고 인과 경계 $ partial V$는 시간 역전에 대해 대칭적인 구조를 갖는다.