[논문 리뷰] Gromov-Witten theory of $\mathrm{K3} imes \mathbb{P}^1$ and quasi-Jacobi forms

Georg Oberdieck|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 K3 표면의 곡선 계열 $(\beta,1)$ 및 $(\beta,2)$ 에서 $\mathrm{K3} \times \mathbb{P}^1$ 의 상대 Gromov-Witten 이론을 해결하며, 생성 함수가 준자코비 형식임을 증명하고 K3 표면의 점들의 Hilbert 스킴에서의 종수 0 불변량과 일치함을 보인다. 핵심 기여는 K3 표면 위의 초타원곡선에 대한 종수 한계를 도출한 것으로, 이와 형식적 성질 및 저종수 계산을 조합함으로써 준자코비 형식의 구조를 이용해 불변량을 완전히 결정한다.

ABSTRACT

Let $S$ be a K3 surface with primitive curve class $β$. We solve the relative Gromov-Witten theory of $S imes \mathbb{P}^1$ in classes $(β,1)$ and $(β,2)$. The generating series are quasi-Jacobi forms and equal to a corresponding series of genus $0$ Gromov-Witten invariants on the Hilbert scheme of points of $S$. This proves a special case of a conjecture of Pandharipande and the author. The new geometric input of the paper is a genus bound for hyperelliptic curves on K3 surfaces proven by Ciliberto and Knutsen. By exploiting various formal properties we find that a key generating series is determined by the very first few coefficients. Let $E$ be an elliptic curve. As collorary of our computations we prove that Gromov-Witten invariants of $S imes E$ in classes $(β,1)$ and $(β,2)$ are coefficients of the reciprocal of the Igusa cusp form. We also calculate several linear Hodge integrals on the moduli space of stable maps to a K3 surface and the Gromov-Witten invariants of an abelian threefold in classes of type $(1,1,d)$.

연구 동기 및 목표

• K3 표면 위의 프리미티브 곡선 계열 $\beta$ 를 갖는 K3 표면에서 곡선 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서 $\mathrm{K3} \times \mathbb{P}^1$ 의 상대 Gromov-Witten 이론을 계산한다.
• Pandharipande와 Oberdieck가 제안한 추측의 특수한 경우를 검증한다. 이 추측은 $\mathrm{K3} \times \mathbb{P}^1$ 의 상대 Gromov-Witten 이론과 K3 표면의 점들의 Hilbert 스킴에서의 종수 0 Gromov-Witten 이론 간의 연관성을 제시한다.
• 불변량의 생성 함수가 준자코비 형식임을 입증함으로써 강력한 구조적 제약 조건과 대칭성을 제공한다.
• $S \times E$ (여기서 $E$ 는 타원 곡선임) 의 곡선 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서의 Gromov-Witten 불변량에 대한 명시적 공식을 유도하며, 이들이 Igusa 정점형식의 역수의 계수임을 보인다.
• K3 표면으로의 안정 사상의 모듈리 공간에서의 선형 Hodge 적분과 계열 $(1,1,d)$ 에서 아벨 3차원의 Gromov-Witten 불변량을 계산한다.

제안 방법

• Ciliberto와 Knutsen이 증명한 K3 표면 위의 초타원곡선에 대한 종수 한계를 적용하여 계열 $(\beta,d)$ 의 곡선이 가질 수 있는 가능한 종수를 제한한다.
• 준자코비 형식의 형식적 성질을 적용하여 계열 $(\beta,2)$ 의 생성 함수가 첫 몇 계수에 의해 결정됨을 보이며, 계산 부담을 크게 감소시킨다.
• S \times \mathbb{P}^1 에서의 인cidene 조건을 포함한 상대 Gromov-Witten 이론을 사용하고, 분열 기법을 적용하여 타원 곡선과 $\mathbb{P}^1 \times E$ 에서의 불변량과 연관지며, [32] 에서 알려진 결과를 활용한다.
• 로컬라이제이션과 분열 공식을 사용하여 $\mathbb{P}^1 \times E$ 에서 Hodge 적분과 Gromov-Witten 불변량을 계산하며, 문제를 단일 타원 곡선 위의 불변량으로 환원한다.
• [28, 부록 B] 에서 제시된 준자코비 형식의 대수의 명시적 표현을 적용하여 생성 함수의 구조를 규명한다.
• Gromov-Witten 불변량과 Igusa 정점형식 간의 대응을 활용하여, $S \times E$ 의 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서의 불변량이 Igusa 정점형식의 역수의 계수임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 K3×P¹ 의 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서의 상대 Gromov-Witten 불변량은 준자코비 형식으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 Ciliberto와 Knutsen이 확립한 K3 표면 위의 초타원곡선에 대한 종수 한계는 Gromov-Witten 불변량의 제약과 계산에 활용될 수 있는가?
• RQ3 K3×P¹ 의 상대 Gromov-Witten 이론과 K3 표면의 점들의 Hilbert 스킴에서의 종수 0 Gromov-Witten 이론 간에 정확한 대응 관계가 존재하는가?
• RQ4 S×E 의 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서의 Gromov-Witten 불변량은 Igusa 정점형식의 역수의 계수로 나타나는가?
• RQ5 분열과 로컬라이제이션을 통해 K3 표면으로의 안정 사상의 모듈리 공간에서의 선형 Hodge 적분과 계열 $(1,1,d)$ 에서의 아벨 3차원의 Gromov-Witten 불변량을 계산할 수 있는가?

주요 결과

• K3×P¹ 의 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서의 상대 Gromov-Witten 불변량의 생성 함수는 준자코비 형식이며, Pandharipande와 Oberdieck의 추측의 핵심 예측을 확인한다.
• 계열 $(\beta,2)$ 의 불변량은 Ciliberto와 Knutsen의 종수 한계, 형식적 성질, 그리고 첫 몇 개의 저종수 계수를 조합함으로써 완전히 결정된다.
• K3×P¹ 의 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서의 생성 함수는 K3 표면의 점들의 Hilbert 스킴에서의 종수 0 Gromov-Witten 불변량과 정확히 일치한다.
• S×E 의 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서의 Gromov-Witten 불변량은 Igusa 정점형식의 역수의 계수이며, 정확한 산술적 구조를 제공한다.
• K3 표면으로의 안정 사상의 모듈리 공간에서의 선형 Hodge 적분은 $\mathbb{P}^1 \times E$ 로의 분열을 통해 계산되며, 타원 곡선 위의 알려진 불변량으로 환원된다.
• 계열 $(1,1,d)$ 에서 아벨 3차원의 Gromov-Witten 불변량은 명시적으로 계산되었으며, 생성 함수는 에이젠스타인 급수와 Igusa 정점형식을 통해 표현된다.