[논문 리뷰] Group actions and Helly's theorem

Benson Farb|ArXiv.org|2008. 06. 10.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 세르의 성질 $\operatorname{FA}$를 일반화한 성질 $\operatorname{FA}_r$를 도입하여, $r$차원 $\operatorname{CAT}(0)$ 공간 위의 군 작용에 대한 고정점 정리들을 수립한다. 군 생성자들의 조합론과 볼록집합에 대한 헬리의 정리 사이의 연관성을 통해, $S$-산술 군과 $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_d]$와 같은 링 위의 체바렐리 군이 차원 $r-2$ 이하에서 강력한 고정점 성질을 가지며, 애매하지 않은 경계가 애파인 빌딩 위의 작용을 통해 입증된다.

ABSTRACT

We describe a connection between the combinatorics of generators for certain groups and the combinatorics of Helly's 1913 theorem on convex sets. We use this connection to prove fixed point theorems for actions of these groups on nonpositively curved metric spaces. These results are encode d in a property that we introduce called ``property $\FA_r$'', which reduces to Serre's property $\FA$ when $r=1$. The method applies to $S$-arithmetic groups in higher $\Q$-rank, to simplex reflection groups (including some non-arithmetic ones), and to higher rank Chevalley groups over polynomial and other rings (for example $\SL_n(\Z[x_1,..., x_d]), n>2$).

연구 동기 및 목표

• 군 작용에 대한 $r$차원 $\operatorname{CAT}(0)$ 공간에서의 고정점 정리로 세르의 성질 $\operatorname{FA}$를 고차원으로 일반화하기.
• 트리 이외의 복합체에서 고차수 군이 작용할 때 고정점 이론의 부족을 메우며, 특히 중간 차원에서의 문제를 다루기.
• 산술 링 위의 $S$-산술 군과 체바렐리 군에서 고정점 성질의 날카운 차원 경계를 설정하기.
• 비 격자 군에 적용 가능한, 유니포텐트 생성자들의 조합론과 헬리의 정리를 활용한 새로운 방법 개발하기.

제안 방법

• 세르의 $\operatorname{FA}$를 일반화한 성질 $\operatorname{FA}_r$를 도입하여, $r$차원 $\operatorname{CAT}(0)$ 복합체에서의 전역 고정점을 요구한다.
• 볼록집합에 대한 헬리의 정리를 사용하여, $r$차원 $\operatorname{CAT}(0)$ 공간 내에서 $r+1$개의 볼록집합이 두 개씩의 교차를 가진다면 전체 교차가 비어있지 않음을 보인다.
• 각각 고정점을 가지며, 원소의 거듭제곱이 노름부분군의 교환자 부분군에 속하는 조건을 만족하는 $r+1$개의 유한 생성 노름부분군으로 생성된 군에 이 방법을 적용한다.
• 특히 $r^p \in [U,U]$인 노름부분군 $U$에 대해 성립하는 체바렐리 군 생성자들의 조합적 성질을 활용하여, 개별 원소와 부분군에 대한 고정점을 보장한다.
• 강력한 $\operatorname{FA}_n$ 성질을 도입하여, $n$차원 $\operatorname{CAT}(0)$ 공간에서 반단순 작용을 하며 열린 집합에서 $n$차 호몰로지가 0이 되는 경우 전역 고정점을 요구한다.
• 브라하트-티츠 고정점 정리를 반사군의 정점 안정자에 적용하여, 고정집합이 $n$-단체와 동형인 뉴비를 이룬다는 것을 보이고, 이로 인해 헬리 유형의 교차 추론이 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $S$-산술 군이 $k$-랭크가 높을 경우, 차원이 $r-2$ 미만인 $\operatorname{CAT}(0)$ 복합체에서 고정점을 가지지 않고 작용할 수 있는가?
• RQ2 고차수 랭크를 가진 체바렐리 군, 예를 들어 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_d])$는 차원 $m < n-1$인 $\operatorname{CAT}(0)$ 복합체에서 비자명한 작용을 가질 수 있는가?
• RQ3 $S$-산술 군에 대해 고정점 성질의 차원 경계 $r-2$가 날카로운가?
• RQ4 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$의 고정점 성질은 차원이 $n-1$ 이하인 복합체에서 실현될 수 있는가?
• RQ5 체바렐리 군의 유니포텐트 생성자들의 조합적 구조는 헬리 유형 정리에 의해 고정점 행동을 유도하는가?

주요 결과

• $n \geq 3$일 때, 군 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$는 강력한 $\operatorname{FA}_n$을 가지며, 이는 어떤 $n$차원 $\operatorname{CAT}(0)$ 공간에서도 고정점을 가지는 것을 의미한다.
• $n \geq 3$일 때, $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ 또는 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$의 유한 지수 부분군은 강력한 $\operatorname{FA}_{n-2}$를 가지며, 이 경계는 날카롭다.
• $k$-랭크 $r \geq 2$인 $k$-군 $G$에 대응하는 $S$-산술 군 $\Gamma$는 강력한 $\operatorname{FA}_{r-2}$를 가지며, 마르게리스와 세르의 결과를 일반화한다.
• 유한 생성 가환 링 위에서 랭크 $r \geq 2$인 체바렐리 군 $E(\Phi,R)$는 강력한 $\operatorname{FA}_{r-1}$을 만족하며, 후쿠나가의 $\operatorname{FA}_1$ 결과를 확장한다.
• $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$가 $\mathbb{Q}_p$ 위의 $n-1$차원 애파인 빌딩에 작용하는 것으로부터, $\operatorname{FA}_{n-2}$가 날카로움을 보이며, 낮은 차원에서는 고정점이 존재하지 않음을 보여준다.
• 반사군이 $\mathbb{R}^n$ 또는 $\mathbb{H}^n$의 $n$-단체 위에서 작용할 경우, 정점 안정자들의 고정집합은 $n$-단체와 동형인 뉴비를 이룬다. 이로 인해 헬리의 정리에 의해 차원 $m < n$에서 전역 고정점이 존재한다.