[논문 리뷰] Groupoids, root systems and weak order II

Matthew Dyer|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 17.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Coxeter 군, 루트 시스템, 약한 순서와 같은 구조를 일반화하는 구조인 루트로이드와 프로루트로이드의 이론을 확장한다. 군oids와 생성자, 그래프, 부울 대수의 부분집합, 방향성 있는 매트로이드 등 다양한 수학적 대상들로부터 프로루트로이드를 구성함으로써, 이론의 일반화를 시도한다. 사상, 정사각형, 고차원 입방체 구조에 대한 기본 결과를 확립하며, 함자 루트로이드와 대칭 입방체 $\omega$-루트로이드가 자연스럽게 유도됨을 보이며, 유한 Coxeter 군 시스템에서도 비자명한 예가 존재함을 보인다.

ABSTRACT

This is the second introductory paper concerning structures called rootoids and protorootoids, the definition of which is abstracted from formal properties of Coxeter groups with their root systems and weak orders. The ubiquity of protorootoids is shown by attaching them to structures such as groupoids with generators, to simple graphs, to subsets of Boolean rings, to possibly infinite oriented matroids, and to groupoids with a specified preorder on each set of morphisms with fixed codomain; in each case, the condition that the structure give rise to a rootoid defines an interesting subclass of these structures. The paper also gives non-trivial examples of morphisms of rootoids and describes (without proof, and partly informally) some main ideas, results and questions from subsequent papers of the series, including the basic facts about principal rootoids and functor rootoids which together provide the raison d'être for these papers.

연구 동기 및 목표

• Coxeter 군과 그 루트 시스템의 대수적·순서론적 구조를 더 넓은 프레임워크인 루트로이드와 프로루트로이드로 일반화하기.
• 군oids와 생성자 집합, 단순 그래프, 부울 대수의 부분집합, 무한 방향성 있는 매트로이드 등 다양한 수학적 대상들로부터 프로루트로이드를 구성함으로써, 프로루트로이드의 광범위한 존재를 보여주기.
• 루트로이드의 맥락에서 $n$-입방체와 입방체 $\omega$-군oids를 도입함으로써 고차원 범주론적 구조의 기초를 다지기.
• 특히 AOP(추상 수직성 조건)를 통한 루트로이드 사상의 기본 결과를 확립하고, 이로부터 전주기성과 브레인드 관계와 같은 핵심 구조적 성질이 유도됨을 보여주기.
• 반사 순서와 정규 루트로이드에 대한 추측에 기반하여, 프로루트로이드에 대한 완비화 및 반사 부분범주 이론의 개발을 시작하기.

제안 방법

• 항등원을 제외하고 역원에 대해 닫혀 있는 생성자 집합 $S$를 갖는 군oids $G$로부터 프로루트로이드를 구성함으로써, Coxeter 군의 표준 루트 시스템 구성 방식을 일반화한다.
• 관련된 프로루트로이드가 루트로이드가 되는 조건을 만족하는 $(G,S)$ 쌍을 $C_2$-시스템이라 정의하고, 브레인드 표현과 부호 문자로 이를 특성화한다.
• 프로루트로이드 ${\mathscr{R}} = (G, \Lambda, N)$에서의 정사각형은 $xy = zw$, $x(N(y)) = N(z)$, $N(x)N(z) = 0$를 만족하는 사상 $x,y,z,w$로 이루어진 교환 다이어그램으로 정의되며, 인접한 사상들 사이의 수직 조건을 포함한다.
• 충실한 프로루트로이드에서는 정사각형이 두 인접한 변으로 유일하게 결정됨을 보이는 강성 성질을 확립한다.
• 프로루트로이드에서 군oids-전순서로 가는 잊혀진 함자 $\mathfrak{P}$에 대한 왼쪽 수반 함자 $\mathfrak{Q}$를 도입함으로써, 프로루트로이드 성질을 갖는 군oids-전순서의 전체 부분범주가 반사적임을 보인다.
• 루트로이드 ${\mathscr{R}}$로부터 대칭 입방체 $\omega$-루트로이드 ${\mathscr{R}}^\omega$를 구성하며, 여기서 $n$-입방체는 $n$개의 자연스러운 복합이 있는 입방체 집합을 이루고, 각 $n$-복합 군oids는 루트로이드 구조를 상속한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 군oids와 생성자 집합이 $C_2$-시스템을 유도하는가? 그리고 이들의 브레인드 관계와 부호 문자가 압축된 주요 루트로이드와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 그래프, 부울 대수의 부분집합, 또는 방향성 있는 매트로이드로부터 구성된 프로루트로이드가 루트로이드가 되는 정도는 어느 정도이며, 이러한 구조 클래스는 어떤 구조적 성질을 갖는가?
• RQ3 커버링 루트로이드와 커버링 몫루트로이드의 개념을 통해, 유니버설 구성에서 유도된 단순 연결 루트로이드의 몫으로서 연결 루트로이드를 어떻게 묘사할 수 있는가?
• RQ4 Coxeter 군의 다이어그램 자기동형군 $G$ 작용 하에서 고정점 군 $W^G$가 다시 Coxeter 군임을 보일 때 AOP(추상 수직성 조건)는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 함자 루트로이드와 입방체 $\omega$-루트로이드 이론이 $1$-코호몰로지 조건을 초월하는 고차 코호몰로지까지 확장될 수 있는가? 이는 고차 범주론에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 유한 이면군에서 루트 시스템의 $R$-안정 부분집합의 수는 26개이며, 이는 군의 순서(24)를 초과한다. 이는 함자 루트로이드 이론의 비자명성을 보여준다.
• Coxeter 시스템 $(W,S)$의 유한 표준 부분군의 랭크의 상한으로 정의된 $N$은, 관련 루트로이드 ${\mathscr{C}}_{(W,S)}$에서 비자명한 $n$-입방체가 존재할 수 있는 최대 $n$과 일치한다.
• 유한 이면군에서는 $W$에서 $\tensor*[_{a}]{{\mathscr{X}}}{}$의 $R$-안정 부분집합으로의 사상이 전단사이지만, 일반적으로는 그렇지 않다. 이는 더 큰 군에서 비자명한 구조가 존재함을 시사한다.
• 대칭 입방체 $\omega$-루트로이드 ${\mathscr{R}}^\omega$는 자연스럽게 초정팔면체군 $B_n$의 작용을 지니며, 이는 $n$-입방체 복합에 대해 호환된다.
• $n$-입방체는 루트로이드 ${\mathscr{R}}$의 입방체 집합을 이룬다. 이들은 $n$개의 자연스러운 복합이 있으며, $n$-입방체의 $n$-복합 군oids는 연결성이 없는 입방체 $\omega$-군oids를 이룬다.
• 루트로이드의 약한 순서는 완전한 수직완전 래티스의 순서 이상 집합과 동형이며, 이 결과는 루트로이드의 완비화 존재성에 의해 유도될 것이다.