[논문 리뷰] Groups acting on semimetric spaces and quasi-isometries of monoids

Robert D. Gray, Mark Kambites|ArXiv.org|2009. 06. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비대칭이고 부분적으로 정의된 거리 함수를 갖는 반거리공간—즉, 거리 함수가 대칭적이지 않고 전체 정의역에서 정의되지 않을 수 있는 공간—에 대해 일반화된 준등장사상의 개념을 도입하고, 군이 이러한 공간에 작용할 경우 Švarc-Milnor 보조정리를 확장한다. 이는 유한 생성 모노이드의 핵심 대수적 성질, 예를 들어 성장률, 끝의 수, 합동류에 대한 준등장사상 불변성 등이 준등장사상에 의해 유지됨을 보여주며 기하군론과 반군론 사이의 다리를 놓는다.

ABSTRACT

We study groups acting by length-preserving transformations on spaces equipped with asymmetric, partially-defined distance functions. We introduce a natural notion of quasi-isometry for such spaces and exhibit an extension of the Svarc-Milnor Lemma to this setting. Among the most natural examples of these spaces are finitely generated monoids and semigroups and their Cayley and Schutzenberger graphs; we apply our results to show a number of important properties of monoids are quasi-isometry invariants.

연구 동기 및 목표

• 거리 함수가 비대칭이고 부분적으로 정의된 반거리공간에 대해 준등장사상의 개념을 메트릭 공간에서 일반화한다.
• 군이 반거리공간에서 등장사상으로 작용할 경우 Švarc-Milnor 보조정리를 확장한다.
• 유한 생성 모노이드의 기본 성질이 준등장사상에 대해 불변임을 입증함으로써 기하적 불변성과 대수적 구조 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 기하군론의 도구를 사용하여 모노이드와 반군을 연구하기 위한 기하적 프레임워크를 제공한다.
• 성장률과 끝의 수와 같은 성질이 군 작용에 의존하지 않고도 준등장사상에 대해 유지됨을 보여준다.

제안 방법

• 비대칭이고 부분적으로 정의된 거리 함수를 갖는 반거리공간을 정의하며, 이는 d(x,y) = 0이면 x = y이고 삼각부등식을 만족하지만 대칭성은 보장하지 않는 함수 d: X × X → ℝ∞로 정의된다.
• 기하학에서의 표준 개념을 일반화하여, 곱셈적 및 слагаемый 왜곡 상수를 사용해 반거리공간 간의 준등장사상을 정의한다.
• 군이 반거리공간에서 적절하고 코컴act하게 작용할 경우, 이를 일반화한 Švarc-Milnor 보조정리를 수립하며, 이러한 군이 공간과 준등장사상임을 보여준다.
• 자연스럽게 반거리공간의 구조를 지닌 유한 생성 모노이드 및 반군의 카일리 그래프와 셸츠너거 그래프에 이 프레임워크를 적용한다.
• 반거리공간에서의 군 작용을 이용해, 유한한 합동류 직경과 같은 성질이 준등장사상 불변임을 증명한다.
• 군 작용에 의존하지 않는 직접적인 기하적 증명을 통해 성장률과 끝의 수가 모노이드에서 준등장사상 불변임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭적이고 부분적으로 정의된 거리 함수(반거리공간)에 대해 준등장사상의 개념을 의미적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 군이 반거리공간에 작용할 경우 Švarc-Milnor 보조정리는 성립하는가? 만약 성립한다면 어떻게 공식화되는가?
• RQ3 유한 생성 모노이드의 핵심 대수적 성질, 예를 들어 성장률과 끝의 수 등이 준등장사상에 의해 유지되는가?
• RQ4 모노이드의 합동류가 준등장사상 기하학적 구조를 어느 정도 유지하는가? 이를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 군 작용에 의존하지 않고도 모노이드 성질의 준등장사상 불변성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 반거리공간에서 적절하고 코컴 pact하게 작용하는 군은 그 공간과 준등장사상이 되며, 이는 비대칭 환경으로의 Švarc-Milnor 보조정리의 확장이다.
• 유한 생성 모노이드 S에서 S/η로의 자연스러운 몫사상이 준등장사상이 되는 것은, η-류의 d_A-직경이 유계일 때이고 그 때에만 성립한다.
• 직접적인 기하적 추론을 통해, 유한 생성 모노이드의 성장률은 준등장사상 불변이다.
• 유한 생성 모노이드의 끝의 수는 군 작용의 고려 없이도 준등장사상 불변이다.
• 유한 생성 클리포드 모노이드 M이 다른 모노이드 N으로의 등급분리 호모모르피즘 φ에 의해 준등장사상이 되는 것은, 각 최대 부분군 내에서 등급원의 원상들이 유한 지수를 가질 때이다.
• 유한 생성 모노이드 M과 유한군 G의 직접곱 M × G는 M과 준등장사상이며, 군 작용이 있는 경우 반직접곱의 경우에도 동일한 성질이 성립한다.