[논문 리뷰] Growth conditions and inverse producing extensions

Cătălin Badea, Veronika Müller|arXiv (Cornell University)|2005. 12. 14.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 대수의 원소와 작용소가 역행렬의 노름 성장률을 통제할 수 있는 조건 하에서 가역 확장을 갖는다는 것을 확립한다. 아렌스와 도거스의 확장 정리들을 정교화하고 초초순(ultraproduct) 구성 기법을 사용하여, 두 개의 열린 문제를 해결한다: $\varepsilon(\mathbb{T})$-하향 작용소의 성장 조건을 통한 특성화, 그리고 비어링 타입의 성장 조건을 만족하는 작용소가 비숍의 성질 $(\beta)$를 갖는다는 증명이다. 이러한 결과는 가산 스펙트럼 또는 카르레손 집합 스펙트럼을 갖는 힐버트 공간 작용소로까지 확장된다.

ABSTRACT

We study the invertibility of Banach algebras elements in their extensions, and invertible extensions of Banach and Hilbert space operators with prescribed growth conditions for the norm of inverses. As applications, the solutions of two open problems are obtained. In the first one we give a characterization of E(T)-subscalar operators in terms of growth conditions. In the second one we show that operators satisfying a Beurling-type growth condition possess Bishop's property beta. Other applications are also given.

연구 동기 및 목표

• 작용소의 거듭제곱의 역행렬 노름에 대한 성장 조건을 사용하여 $\varepsilon(\mathbb{T})$-하향 작용소를 특성화하는 것.
• 작용소의 $\|T^n\|$ 및 $m(T^n)^{-1}$에 대해 비어링 타입의 성장 조건을 만족하는 작용소가 비숍의 성질 $(\beta)$를 갖는다는 것을 증명하는 것.
• 아렌스와 도거스의 확장 정리를 개선하여 $\|S^{-n}\|$의 주어진 성장률을 갖는 가역 확장을 구성하는 것.
• 지수적 성장보다 느린 역행렬 노름 성장률을 갖는 거듭제곱 유계 작용소가 유니터리 작용소와 유사함을 증명하는 것.
• 스펙트럼이 카르레손 집합에 있고 역행렬 노름이 다항식적으로 증가하는 힐버트 공간 수축 작용소는 등급 변환임을 보이는 것.

제안 방법

• 공산 단위 바나흐 대수에서 아렌스의 가역 확장 구성 기법을 정교화하여 $\|u^{-k}\|$의 성장률을 통제하는 것.
• 뮬러(2000)의 방법을 사용하여 바나흐 공간 작용소를 더 큰 공간 $Y$ 상의 가역 확장 $S$로 올리되, $\|S^n\| \leq \|T^n\|$를 유지하는 것.
• 스펙트럼이 $X$이면 $Y$가 힐버트 공간이 되도록 보장하는 $L_p(X)$ 공간들의 초초순의 부분공간의 몫으로 $Y$를 구성하는 것.
• 배티-예이츠 방법을 적용하여 $\pi$를 통해 $X$를 $Y$에 등급 변환으로 포함시키고, $T$가 $S|_{\pi(X)}$와 유사함을 보이는 것.
• 조건 $\|S^{-n}\| \leq K \exp(n^{s+\varepsilon})$와 $s < 1/2$를 사용하여 제마네크(1980)의 결과를 응용하여 모든 $p \in \mathbb{Z}$에 대해 $\|S^p\| \leq M$을 유도하는 것.
• 스펙트럼 불변성과 카르레손 집합 성질을 활용하여 $S$가 유니터리임을 결론 내리고, 따라서 $T$가 등급 변환임을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작용소의 $\|T^n\|$ 및 $m(T^n)^{-1}$에 대한 성장 조건을 통해 $\varepsilon(\mathbb{T})$-하향 작용소를 특성화할 수 있는가?
• RQ2 모든 $n$에 대해 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log \max(\|T^n\|, m(T^n)^{-1})}{n^2} < \infty$를 만족하는 작용소는 비숍의 성질 $(\beta)$를 갖는가?
• RQ3 작용소의 $\|T^n\|$ 및 $m(T^n)^{-1}$에 대해 어떤 조건이 바나흐 공간 상의 거듭제곱 유계 작용소가 유니터리 작용소와 유사하게 되는가?
• RQ4 스펙트럼이 카르레손 집합에 있고 $m(T^n)^{-1} \leq Cn^s$인 힐버트 공간 수축 작용소는 등급 변환임을 보일 수 있는가?
• RQ5 작용소 $T$의 가역 확장 $S$에서 $\|S^{-n}\|$에 대한 어떤 성장 조건이 $T$가 $\varepsilon(\mathbb{T})$-하향 작용소임을 보장하는가?

주요 결과

• 바나흐 공간 상의 작용소 $T$가 $\|T^n\| \leq M$ 및 $m(T^n)^{-1} \leq C e^{n^s}$를 만족하고 $s < 1/2$이면 $\varepsilon(\mathbb{T})$-하향 작용소이다.
• 모든 $n$에 대해 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log \max(\|T^n\|, m(T^n)^{-1})}{n^2} < \infty$를 만족하는 작용소는 비숍의 성질 $(\beta)$를 갖는다.
• 거듭제곱 유계 힐버트 공간 작용소 $T$가 $m(T^n)^{-1} \leq C e^{n^s}$를 만족하고 $s < 1/2$이며 가산 스펙트럼을 갖는다면, $T$는 유니터리 작용소와 유사하다.
• 스펙트럼 $\sigma_{\text{ap}}(T)$가 카르레손 집합이고 $m(T^n)^{-1} \leq C n^s$인 힐버트 공간 수축 작용소 $T$는 등급 변환이다.
• 이러한 $T$에 대해 가역 확장 $S$는 어떤 $s' \geq 0$에 대해 $\|S^{-n}\| \leq K n^{s'}$를 만족하며, $S$는 유니터리이므로 $T$는 등급 변환이다.
• 구성 과정은 $\|S^n\| \leq \|T^n\|$ 및 $\|S^{-1}\| \leq \sqrt{2}/m(T)$를 보장하며, 등급 변환 포함을 유지하기 위해 확장 공간에 수정된 노름을 도입한다.