[논문 리뷰] Hall monoidal categories and categorical modules

Tashi Walde|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 24.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 2-세그랄 조건을 만족하는 단순형 군족을 통해, 특히 Waldhausen의 S-구성법을 이용하여 고전적 힐과 힐레 대수의 분류화를 위한 홀 맨로이드 카테고리와 그 모듈러를 도입한다. 복소수 표현의 카테고리와 $G\wr S_n$에 대한 $G$--equivariant 다항함수 사이의 모노이드 동치를 증명함으로써, 홀 맨로이드 카테고리의 일반화된 슈어-웨일 다이얼로지가 성립함을 보인다.

ABSTRACT

We construct so called Hall monoidal categories (and Hall modules thereover) and exhibit them as a categorification of classical Hall and Hecke algebras (and certain modules thereover). The input of the (functorial!) construction are simplicial groupoids satisfying the $2$-Segal conditions (as introduced by Dyckerhoff and Kapranov), the main examples come from Waldhausen's S-construction. To treat the case of modules, we introduce a relative version of the $2$-Segal conditions. Furthermore, we generalize a classical result about the representation theory of symmetric groups to the case of wreath product groups: We construct a monoidal equivalence between the category of complex $G\wr S_n$-representations (for a fixed finite group $G$ and varying $n\in\mathbb N$) and the category of "$G$-equivariant" polynomial functors; we use this equivalence to prove a version of Schur-Weyl duality for wreath products.

연구 동기 및 목표

• 고차 카테고리적 구조를 사용하여 힐 및 힐레 대수의 분류화를 개발하는 것.
• 함수적 구성법을 통해 홀 맨로이드 카테고리와 그 위의 모듈러를 정의하는 것.
• 고전적 슈어-웨일 다이얼로지의 일반화를 홀 맨로이드 카테고리에 적용하여 홀 맨로이드 카테고리에 대해 적용하는 것.
• 홀 모듈러를 카테고리적으로 다룰 수 있도록 2-세그랄 조건의 상대적 형태를 도입하는 것.
• $G\wr S_n$-표현과 $G$-equivariant 다항함수 사이의 모노이드 동치를 확립하는 것.

제안 방법

• 2-세그랄 조건을 만족하는 단순형 군족을 사용하여 홀 맨로이드 카테고리를 구성하는 데 입력 자료로 활용한다.
• Waldhausen의 S-구성법을 주요 예시로 삼아 함수적 힐 대수 구성법을 적용한다.
• 홀 모듈러를 홀 맨로이드 카테고리 위에 정의하기 위해 2-세그랄 조건의 상대적 형태를 도입한다.
• 카테고리적 표현 이론을 활용하여 $G\wr S_n$-표현과 다항함수 사이의 관계를 규명한다.
• $G$-equivariant 다항함수의 구조를 이용하여 모노이드 동치를 유도한다.
• 이론을 적용하여 홀 맨로이드 카테고리에 대해 슈어-웨일 다이얼로지의 한 형태를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고차 카테고리적 구조를 사용하여 힐 대수와 그 모듈러를 분류화할 수 있는가?
• RQ2 단순형 군족에 대한 어떤 조건이 홀 맨로이드 카테고리의 구성에 보장되는가?
• RQ3 화이트 제품군 $G\wr S_n$에 대해 일반화된 슈어-웨일 다이얼로지를 확립할 수 있는가?
• RQ4 G--equivariant 다항함수는 홀 맨로이드 카테고리의 표현 이론에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 상대적 2-세그랄 조건은 홀 모듈러 이론을 어떻게 확장하는가?

주요 결과

• $G\wr S_n$의 복소수 표현의 카테고리와 $G$-equivariant 다항함수의 카테고리 사이에 모노이드 동치가 구성됨을 보였다.
• 2-세그랄 단순형 군족을 사용하여 고전적 힐 및 힐레 대수의 분류화가 가능함을 보였다.
• 홀 모듈러를 홀 맨로이드 카테고리 위에 정의하기 위해 상대적 2-세그랄 조건이 도입됨을 보였다.
• 모노이드 동치를 통해 홀 맨로이드 카테고리에 대해 슈어-웨일 다이얼로지의 한 형태가 증명됨을 보였다.
• 이론은 Waldhausen의 S-구성법에 기반하여 추상적 구성의 구체적 실현을 제공함을 보였다.
• 결과들은 대칭군에 대한 고전적 표현론적 결과들을 홀 맨로이드 카테고리로 일반화함을 보였다.