[논문 리뷰] Hamilton Variational Principle for Statistical Ensemble of Deterministic Systems and its Application for Ensemble of Stochastic Systems

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|2000. 11. 12.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 14인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 결정론적 시스템의 통계적 집합에 대해 하미르톤 변분 원리를 유도하며, 파동함수를 통해 역학을 기술하고 확률적 시스템의 통계적 기술을 가능하게 한다. 주요 결과는 특정 조건 하에서 이러한 기술이 슈뢰딩거 방정식과 일치함을 보여주며, 이는 양자역학이 특정 확률적 에너지 항을 가진 확률적 입자 운동의 통계역학에서 유도될 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Hamilton variational principle for special type of statistical ensemble of deterministic dynamical systems is derived. Thie form of variational principle allows one to describe the statistical ensemble in terms of wave functions and provides a basis for a description of statistical ensemble of stochastic systems. It is shown that sometimes such a statistical description of stochastic particle motion appears to coincide with the quantum description in terms of Schroedinger equation.

연구 동기 및 목표

• 결정론적 동역학 시스템의 통계적 집합에 대해 파동함수 기반 형식을 사용하여 변분 원리를 개발하는 것.
• 이 형식을 순수한 통계적 집합으로 구성된 결정론적 요소들에 의해 기술되는 확률적 시스템으로 확장하는 것.
• 확률적 운동의 통계적 기술이 슈뢰딩거 방정식을 재현하는 조건을 조사하는 것.
• 통계적 집합 내에서의 확률적 에너지 기여에 기반한 양자역학적 행동의 물리적 기원을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 상태가 분포함수 $ F_p(t, \mathbf{x}, \mathbf{p}) = \rho(t, \mathbf{x}) \delta(\mathbf{p} - \mathbf{P}(t, \mathbf{x})) $ 로 기술되는 순수한 통계적 집합에 대해 하미르톤 변분 원리를 유도한다.
• 리우빌 방정식을 기초로 삼아 $ \rho $ 와 $ \mathbf{P} $ 에 대한 연속방정식과 오일러형 방정식을 유도한다.
• 파동함수 $ \psi $ 를 도입하여 $ \rho = \psi^* \psi $ 라고 하고, $ \psi $ 와 $ \psi^* $ 를 변수로 하는 작용함수를 구성한다.
• 확률적 에너지 항 $ \frac{\hbar^2}{8m} \frac{(\nabla \rho)^2}{\rho} $ 를 포함하는 비선형 작용함수 $ \mathcal{A}_E[\psi, \psi^*] $ 를 유도하며, 이는 $ b_0 = \hbar $ 의 극한에서 양자잠재에너지가 된다.
• $ b_0 = \hbar $ 로 설정할 경우 비선형 작용이 표준 슈뢰딩거 작용으로 전환되며, 위상변환 후 선형 슈뢰딩거 방정식을 도출함을 보여준다.
• 불확정성 원리는 확률적 에너지가 밀도 기울기에 의존함에 따라 자연스럽게 유도되며, $ \Delta p \sim \hbar / \delta x $ 라는 형태를 띤다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파동함수 기반 형식을 사용하여 결정론적 시스템의 통계적 집합에 대해 변분 원리를 구성할 수 있는가?
• RQ2 확률적 시스템의 통계적 기술이 슈뢰딩거 방정식으로 축소되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 확률적 운동 에너지 기여의 관점에서 양자잠재에너지의 물리적 기원은 무엇인가?
• RQ4 비선형 통계적 기술에서 선형 슈뢰딩거 방정식은 어떻게 유도되는가?
• RQ5 왜 불확정성 원리는 작용함수 내의 확률적 에너지 항의 구조에서 유도되는가?

주요 결과

• 순수한 통계적 집합에 대한 하미르톤 변분 원리는 결정론적 입자 운동에 확률적 성분을 포함하는 비선형 작용함수를 도출한다.
• 통합상수 $ b_0 $ 가 $ \hbar $ 로 설정되면 비선형 작용함수는 표준 슈뢰딩거 작용으로 축소되며, 자유입자에 대해 선형 슈뢰딩거 방정식을 도출한다.
• 확률적 에너지 항 $ \frac{\hbar^2}{8m} \frac{(\nabla \rho)^2}{\rho} $ 는 불확정성 원리의 유도를 포함한 양자역학적 행동의 기원이 된다.
• 밀도 기울기가 큰 영역에서의 확률적 에너지 밀도의 발산에 기반하여 불확정성 관계 $ \Delta p \sim \hbar / \delta x $ 가 자연스럽게 도출된다.
• 슈뢰딩거 방정식의 선형성은 본질적인 것이 아니며, 특정한 확률적 에너지 항과 비회전 흐름의 선택에 의한 결과일 뿐이며, 완전히 상대론적 또는 회전 대칭적인 경우로 일반화되지는 않을 수 있다.
• 식 (4.21)의 작용은 고전적 항과 양자적 항을 명확히 분리하며, $ \hbar = 0 $ 으로 설정함으로써 고전적 극한을 명확히 할 수 있다. 반면 식 (4.22)의 작용은 모든 항에 $ \hbar $ 가 포함되어 있어 이 분리를 흐리게 한다.