[논문 리뷰] Hardy and Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on Riemannian manifolds with negative curvature

Van Hoang Nguyen|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 30.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 완전하고 단순연결된 리만다이내어 맨포ลด르에서 음의 곡률을 가진 강한 가중 히드로 및 리엘리히 유형 부등식, 특히 임계 및 카프레리-코른-니레나르드 유형 부등식을 정립한다. 라디얼 도함수와 가우스의 보조정리를 활용하여 저자들은 기존 결과보다 더 강력한 부등식을 유도하였으며, 매개변수 제약 조건 하에서 최적성을 입증하고 유클리드 공간에서 특정 매개변수 클래스에 대해 명시적인 최적 함수를 규명하였다.

ABSTRACT

In this paper, we establish several new Hardy type inequalities such as the weighted Hardy inequality, weighted Rellich inequality, critical Hardy inequality and critical Rellich inequality on complete, simply connected manifold with negative curvature. Our obtained inequalities are proved for radial derivations (i.e., the derivation along the geodesic curve) and hence are stronger than the well-known corresponding inequalities because of Gauss's lemma. We also prove a subclass of Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities (including the inequalities for negative exponent) on such kind of Riemannian manifolds. These inequalities are shown to be sharp under some appropriate assumptions of the parameters. A family of optimal functions for the Cafarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities are found out in Euclidean space for a special class of parameters. As consequences, we obtain some new inequalities in the hyperbolic space of negative constant curvature. Our results seem to be new even in the Euclidean space (except some special cases).

연구 동기 및 목표

• 고전적인 히드로 및 리엘리히 부등식을 음의 곡률을 가진 리만다이내어 맨포ลด르로 확장하기.
• 라디얼 도함수를 사용하여 이러한 부등식의 새로운 가중 및 임계 형태를 수립하기.
• 적절한 매개변수 조건 하에서 카프레리-코른-니레나르드 유형 부등식의 날카로움을 입증하기.
• 유클리드 공간에서 카프레리-코른-니레나르드 부등식의 부분집합에 대해 최적 함수를 규명하기.
• 일반적 프레임워크의 결과로서 쌍곡 공간에서 새로운 부등식을 도출하기.

제안 방법

• 지오데식 곡선을 따라 라디얼 도함수를 활용하여 가우스의 보조정리를 통해 부등식을 강화하기.
• 라디얼 구조를 이용하여 음의 곡률을 가진 다발에서 가중 히드로 및 리엘리히 부등식을 도출하기.
• 음의 지수를 포함한 카프레리-코른-니레나르드 유형 부등식의 부분집합을 도입하고 분석하기.
• 변분 및 기하학적 추론을 통해 특정 매개변수 제약 조건 하에서 부등식의 날카로움을 입증하기.
• 대칭성과 스케일링을 통한 대칭성 활용으로 유클리드 공간에서 특수한 매개변수 클래스에 대해 명시적인 최적 함수를 구성하기.
• 일반적 프레임워크를 적용하여 일정한 음의 곡률을 가진 쌍곡 공간에서 새로운 부등식을 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 히드로 및 리엘리히 부등식은 완전하고 단순연결된 리만다이내어 맨포ลด르에서 음의 곡률을 가진 경우로 확장될 수 있는가?
• RQ2 라디얼 도함수를 사용할 경우 표준 형태에 비해 히드로 유형 부등식의 강도는 어떻게 향상되는가?
• RQ3 어떤 매개변수 조건에서 카프레리-코른-니레나르드 유형 부등식이 날카로운가?
• RQ4 특정 매개변수 클래스에 대해 유클리드 공간에서 카프레리-코른-니레나르드 부등식의 최적 함수는 무엇인가?
• RQ5 일반 결과의 결과로서 쌍곡 공간에서 어떤 새로운 부등식이 도출되는가?

주요 결과

• 저자들은 완전하고 단순연결된 리만다이내어 맨포ลด르에서 음의 곡률을 가진 강한 가중 히드로 및 리엘리히 부등식을 라디얼 도함수를 통해 수립하였다.
• 라디얼 도함수와 가우스의 보조정리를 활용함으로써 고전적 형태보다 더 강력한 부등식이 도출되었다.
• 음의 지수를 포함한 카프레리-코른-니레나르드 유형 부등식의 부분집합이 도출되었으며, 적절한 매개변수 조건 하에서 날카로움이 입증되었다.
• 특정 매개변수 클래스에 대해 유클리드 공간에서 명시적인 최적 함수가 규명되었다.
• 일정한 음의 곡률을 가진 쌍곡 공간에서 일반 결과의 결과로서 새로운 부등식이 도출되었다.
• 일반적인 경우에 대해 이전에 알려진 특수 사례를 초월하여 유클리드 공간에서도 결과가 새로운 것으로 밝혀졌다.