[논문 리뷰] Hardy spaces, Regularized BMO spaces and the boundedness of Calder\'on-Zygmund operators on non-homogeneous spaces

Anh Tuan Bui, Xuan Thinh Duong|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 07.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비이분할 측도에서의 Calderón-Zygmund 연산자들의 유계성에 대해 비이분할 공간 $(X, \mu)$ 에서 고전적인 결과를 이분할 측도에서 비이분할 측도로 확장한다. 이는 Calderón-Zygmund 분해를 도입하고, 약한 유형 $(1,1)$ 추정을 증명하며, 하드비 공간의 쌍대공간이 정규화된 BMO 공간임을 보이며, Cotlar 유형 부등식을 통해 교환자와 최대 연산자의 유계성 결과를 제시한다.

ABSTRACT

One defines a non-homogeneous space $(X, \mu)$ as a metric space equipped with a non-doubling measure $\mu$ so that the volume of the ball with center $x$, radius $r$ has an upper bound of the form $r^n$ for some $n> 0$. The aim of this paper is to study the boundedness of a Calderon-Zygmund operator $T$ as well as the boundedness of certain related singular integrals associated with $T$ on various function spaces on $(X, \mu)$ such as the Hardy spaces, the $L^p$ spaces and the regularized BMO spaces. This article thus extends the work of X. Tolsa \cite{T1} on the non-homogeneous space $(\mathbb R^n, \mu)$ to the setting of a general non-homogeneous space $(X, \mu)$. While our framework is similar to that of \cite{H}, we are able to obtain quite a few properties similar to those of Calderon-Zygmund operators on doubling spaces, including the following for such an operator $T$: weak type $(1,1)$ estimate, boundedness from Hardy space into $L^1$, boundedness from $L^{\infty}$ into the regularized BMO and an interpolation theorem. We also prove that the dual space of the Hardy space is the regularized BMO space, obtain a Calderon-Zygmund decomposition on the non-homogeneous space $(X, \mu)$ and use this decomposition to show the boundedness of the maximal operators in the form of Cotlar inequality as well as the boundedness of commutators of Calderon-Zygmund operators and BMO functions.

연구 동기 및 목표

• 이분할에서 비이분할(비동형) 거리측도공간으로의 Calderón-Zygmund 연산자 이론을 확장한다.
• 비동형 공간에서 이러한 연산자들이 하드비 공간, $L^p$ 공간, 정규화된 BMO 공간에서 유계임을 확립한다.
• 비동형 공간에서 하드비 공간과 정규화된 BMO 공간 사이의 쌍대성 관계를 증명한다.
• 비동형 공간에 적합한 Calderón-Zygmund 분해를 개발한다.
• 최대 연산자와 관련된 Cotlar 유형 부등식을 유도하고, BMO 함수를 포함하는 교환자의 유계성 결과를 도출한다.

제안 방법

• 측도 성장이 $r^n$ 으로 제어되는 비동형 공간에 대해 Calderón-Zygmund 분해를 적응시킨다.
• 분해를 통해 Calderón-Zygmund 연산자에 대한 약한 유형 $(1,1)$ 추정을 증명한다.
• 쌍대성과 보간을 통해 하드비 공간에서 $L^1$ 으로, $L^\infty$ 에서 정규화된 BMO 공간으로의 유계성을 확립한다.
• 분해를 적용하여 $T$ 와 관련된 최대 연산자에 대한 Cotlar 유형 부등식을 유도한다.
• 분해와 약한 유형 추정을 이용해 BMO에 속하는 $b$ 에 대해 교환자 $[b, T]$ 의 유계성을 증명한다.
• 다항식 성장 구조를 갖는 비이분할 측도의 구조에 기반하여 Tolsa 및 다른 이들의 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비동형 설정에서 Calderón-Zygmund 연산자는 하드비 공간과 $L^p$ 공간에서 유계일 수 있는가?
• RQ2 비동형 공간에서 하드비 공간의 쌍대공간은 정규화된 BMO 공간인가?
• RQ3 다항식 측도 성장 조건을 갖는 비동형 공간에서 Calderón-Zygmund 분해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 설정에서 $T$ 와 관련된 최대 연산자는 Cotlar 유형 부등식을 만족하는가?
• RQ5 비동형 공간에서 $b$ 가 BMO에 속할 경우 교환자 $[b, T]$ 는 유계인가?

주요 결과

• 비동형 공간 $(X, \mu)$ 에서 하드비 공간의 쌍대공간은 정규화된 BMO 공간이다.
• Calderón-Zygmund 연산자는 비동형 공간에서 약한 유형 $(1,1)$ 이다.
• 연산자 $T$ 는 비동형 공간 $(X, \mu)$ 에서 하드비 공간 $H^1$ 에서 $L^1$ 으로 유계이다.
• 연산자 $T$ 는 $L^\infty$ 에서 정규화된 BMO 공간으로 유계이다.
• BMO에 속하는 $b$ 에 대해 교환자 $[b, T]$ 는 $1 < p < \infty$ 에서 $L^p$ 에서 유계이다.
• 비동형 공간에 Calderón-Zygmund 분해가 존재하여, 최대 연산자에 대한 Cotlar 유형 부등식의 증명이 가능하다.