[논문 리뷰] Hautus--Yamamoto criteria for approximate and exact controllability of linear difference delay equations

Yacine Chitour, Sébastien Fueyo외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 24.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 양마모토의 실현 이론을 활용하여 유한차원 선형 차분지연방정식의 근사적 및 정확한 제어 가능성에 대한 주파수 도메인 필수 및 필요조건을 수립한다. 라플라스 도메인에서 투하-양마모토 기준을 제공하고, 최소 제어 가능성 시간에 대한 명시적 상한을 $ d \max\{\Lambda_1,\dots,\Lambda_N\} $ 로 유도하며, $ L^q $ 및 $ L^1 $ 설정에서 복소 평면의 원 위에 있는 가чёт한 밀집 집합에 영점이 존재하지 않는 것으로 제어 가능성의 특성화를 한다.

ABSTRACT

The paper deals with the controllability of finite-dimensional linear difference delay equations, i.e., dynamics for which the state at a given time $t$ is obtained as a linear combination of the control evaluated at time $t$ and of the state evaluated at finitely many previous instants of time $t-Λ_1,\dots,t-Λ_N$. Based on the realization theory developed by Y.Yamamoto for general infinite-dimensional dynamical systems, we obtain necessary and sufficient conditions, expressed in the frequency domain, for the approximate controllability in finite time in $L^q$ spaces, $q \in [1, +\infty)$. We also provide a necessary condition for $L^1$ exact controllability, which can be seen as the closure of the $L^1$ approximate controllability criterion. Furthermore, we provide an explicit upper bound on the minimal times of approximate and exact controllability, given by $d\max\{Λ_1,\dots,Λ_N\}$, where $d$ is the dimension of the state space.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 유한 시간 내 선형 차분지연방정식의 근사적 및 정확한 제어 가능성에 대한 필요 및 충분 조건을 수립하고자 한다.
• . 기존의 후행성 또는 단일 지연 사례를 초월하여 다수의 지연, 특히 유리수로 독립적인 지연을 가진 시스템으로 제어 가능성 기준을 일반화하고자 한다.
• . 특히 $ L^q $ 및 $ L^1 $ 제어 공간에서 지연 시스템의 제어 가능성에 관한 문헌의 격차를 메우고자 한다.
• . 시스템의 차원과 지연 구조에 따라 제어 가능성에 필요한 최소 시간에 대한 명시적 상한을 제공하고자 한다.
• . 복소 평면에서 해석적 행렬 함수와 주파수 도메인의 베주 부형식 항등식을 통한 기하학적 및 대수적 제어 가능성 특성화를 도출하고자 한다.

제안 방법

• . 분석은 양마모토의 무한차원 실현 이론에 기반하며, 시스템을 행렬 값 분포 $ (P, Q) $ 로 모델링하여 주파수 도메인에서 제어 가능성의 표현을 가능하게 한다.
• . 시간 도메인의 차분지연방정식을 라플라스 변환을 통해 해석적 행렬 함수 $ H(p) $ 로 변환하며, 이는 $ H(p) = I - \sum_{j=1}^N e^{-p\Lambda_j} A_j $ 로 정의되며 시스템의 입력-출력 행동을 특성화한다.
• . 제어 가능성은 주파수 도메인에서 비제어 가능성의 조건으로서 $ \text{rank}[H(p), B] < d $ 를 만족하는 어떤 $ p \in \mathbb{C} $ 가 존재하는지 여부로 분석된다.
• . $ L^q $ 근사적 제어 가능성의 경우, 시스템은 $ 0 \notin \bigcup_{j=1}^k S_j $ 이면 제어 가능하며, 여기서 $ S_j $ 는 특정 행렬 방정식의 근에서 유도된 원 $ C_j $ 위의 가чёт한 밀집 집합이다.
• . $ L^1 $ 정확한 제어 가능성의 경우, 필수 조건으로서 $ 0 \in \bigcup_{j=1}^k C_j $ 이여야 하며, 여기서 $ C_j $ 는 관련 행렬 조합의 고유값으로 정의된 원들이다.
• . 이 방법은 베주 항등식과 해석 함수 이론을 활용하여 주파수 도메인에서 행렬 방정식의 해법으로 제어 가능성 문제를 축소한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 선형 차분지연방정식의 $ L^q $ 근사적 제어 가능성에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 . 다수의 지연을 가진 시스템에서 근사적 또는 정확한 제어 가능성에 필요한 최소 시간을 어떻게 결정할 수 있는가?
• RQ3 . 지연 간의 유리수 독립성이 제어 가능성 성질을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 . $ d=3 $, $ N=2 $, $ m=1 $ 인 시스템의 경우, 복소 평면의 궤적을 통해 기하학적으로 제어 가능성을 특성화할 수 있는가?
• RQ5 . $ L^1 $ 정확한 제어 가능성과 $ L^1 $ 근사적 제어 가능성 기준의 폐쇄 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• . 시스템은 $ L^q $ 근사적으로 시간 $ T $ 에 제어 가능할 조건은 $ \text{rank}[H(p), B] < d $ 를 만족하는 $ p \in \mathbb{C} $ 가 존재하지 않을 때이며, 여기서 $ H(p) = I - \sum_{j=1}^N e^{-p\Lambda_j} A_j $ 이다.
• . $ N=2 $, $ d=3 $, $ m=1 $ 인 경우, 비제어 가능성 주파수의 집합은 복소 평면의 원 $ C_j $ 에 밀집된 최대 네 개의 가чёт한 밀집 집합 $ S_j $ 의 합집합에 속한다.
• . $ 0 \in \bigcup_{j=1}^k C_j $ 이면 시스템은 $ L^1 $ 정확하게 제어 가능하지 않으며, 여기서 $ C_j $ 는 $ A_1 $, $ A_2 $ 및 지연 매개변수를 포함한 행렬 조합의 고유값에서 유도된 원들이다.
• . 근사적 또는 정확한 제어 가능성에 필요한 최소 시간은 $ d \max\{\Lambda_1, \dots, \Lambda_N\} $ 이하로 상한이 주어지며, 특정 경우에 등호가 성립할 수 있다.
• . $ N=2 $, $ d=3 $, $ m=1 $ 이고 $ r_0 = 3 $ 인 경우, 서로 다른 원 $ C_j $ 의 수는 최대 네 개인데, 이는 행렬 방정식에서 유도된 두 개의 이차곡선의 교차점 수와 대응된다.
• . 이 결과는 이전의 $ N=d=2 $, $ m=1 $ 경우의 결과를 일반화하며, 복소 평면에서 해석적 행렬 함수와 기하학적 궤적을 사용하여 고차원 및 다중 지연 시스템으로 확장한다.