[논문 리뷰] Heat kernel asymptotics, local index theorem and trace integrals for CR manifolds with $S^1$ action

Jih-Hsin Cheng, Chin-Yu Hsiao외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 31.

Geometry and complex manifolds인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $S^1$ 작용을 가진 CR 다양체 위에서 Kohn $\bar\boxempty_b$ 연산자의 열핵 점근 전개를 수립하며, 거리 함수를 통해 하위차원 strata로부터의 새로운 기여를 드러낸다. Getzler의 스케일링을 통한 이러한 strata 기여의 상쇄를 보여주어, 접선 특성류에 대한 국소 CR 지수 정리가 유도되며, 이는 접선 특성형식에 의한 국소 지수 공식을 이끌어내고, $S^1$-stratification의 기하 불변량을 포함한 명시적 트레이스 적분 전개를 유도한다.

ABSTRACT

Among those transversally elliptic operators initiated by Atiyah and Singer, Kohn's $\Box_b$ operator on CR manifolds with $S^1$ action is a natural one of geometric significance for complex analysts. Our first main result establishes an asymptotic expansion for the heat kernel of such an operator with values in its Fourier components, which involves an unprecedented contribution in terms of a distance function from lower dimensional strata of the $S^1$-action. Our second main result computes a local index density, in terms of \emph{tangential} characteristic forms, on such manifolds including \emph{Sasakian manifolds} of interest in String Theory, by showing that certain non-trivial contributions from strata in the heat kernel expansion will eventually cancel out by applying Getzler's rescaling technique to off-diagonal estimates. This leads to a local result which can be thought of as a type of local index theorem on these CR manifolds. As applications of our CR index theorem we can prove a CR version of Grauert-Riemenschneider criterion, and produce many CR functions on a weakly pseudoconvex CR manifold with transversal $S^1$ action and many CR sections on some class of CR manifolds, answering (on this class of manifolds) some long-standing questions in several complex variables and CR geometry. We give examples of these CR manifolds, some of which arise from Brieskorn manifolds. Moreover in some cases, without use of equivariant cohomology method nor keeping contributions arising from lower dimensional strata as done in previous works, we can reinterpret Kawasaki's Hirzebruch-Riemann-Roch formula for a complex orbifold with an orbifold holomorphic line bundle, as an index theorem obtained by a single integral over a smooth CR manifold which is essentially the circle bundle of this line bundle.

연구 동기 및 목표

• CR 다양체에 $S^1$ 작용이 있는 Kohn $ar\boxempty_b$ 연산자의 열핵 점근 전개를 수립하며, 하위차원 strata로의 거리 함수를 통해 그 기여를 포함한다.
• Getzler의 스케일링 기법을 통해 비자명한 strata 기여의 상쇄를 보여줌으로써, 국소 자유 $S^1$ 작용을 가진 CR 다양체에 대한 국소 지수 정리를 도출한다.
• 열핵의 명시적 트레이스 적분을 계산하며, 체적 및 무게 인자와 같은 기하 불변량을 사용하여 $S^1$-stratification의 수정 사항을 규명한다.
• CR 지수 정리를 적용하여, 약한 강한 편평성 조건을 만족하는 $S^1$ 작용을 가진 CR 다양체에서 많은 CR 함수의 존재를 보장하는 CR 형태의 Grauert-Riemenschneider 기준을 증명한다.
• 오비폴드 선다발에 대한 Kawasaki의 Hirzebruch-Riemann-Roch 공식을, 등변 코hom로이를 피하는 방식으로, 스무스 CR 원환면 다발 위의 지수 정리로 재해석한다.

제안 방법

• BRT 비특이화에서 수정된 Kohn 라플라스 연산자의 열핵 점근 전개를 유도하며, 하위차원 strata로의 거리 함수를 통해 $S^1$-stratification의 특이 기여를 포함한다.
• 열핵의 비대칭적 추정에 Getzler의 스케일링 기법을 적용하여 비자명한 strata 기여를 상쇄함으로써, 접선 특성형식에 의한 국소 지수 공식을 가능하게 한다.
• 열핵의 슈퍼트레이스를 $S^1$-오빗 위의 각도 적분을 통해 계산하며, 다양체를 서로 다른 코드레인지의 strata로 분해하고 국소 기여를 계산한다.
• 일반적인 $S^1$-stratification 유형(단순연결성 여부에 관계없이)을 고려하여, 전체 다양체 위에서 국소 각도 적분을 조합하는 패치워크 절차를 사용한다.
• 트레이스 적분 점근 전개를 기하적 자료(예: 체적, 무게 인자)로 표현하기 위해, 무게 인자 $D_{\bullet,m}$, 체적 적분 $S^{+}_{\bullet,s}$, 수정 항 $Z_{[\tau],s}$ 를 도입한다.
• 주요 결과를 유도하기 위해 수정된 $ ext{Spin}^c$ Kohn 라플라스 연산자와 그 열핵의 점근 전개에 기반하며, 핵심 추정은 미세국소 해석학과 리만 기하학에 뿌리를 두고 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CR 다양체에 $S^1$ 작용이 있는 Kohn $ar\boxempty_b$ 연산자의 열핵은 작용의 하위차원 strata 근처에서 어떻게 점근적으로 행동하는가?
• RQ2 열핵 전개에서 strata의 비자명한 기여는 기하 스케일링 기법을 통해 상쇄될 수 있는가? 이를 통해 국소 지수 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 열핵의 트레이스 적분의 정확한 구조는 무엇이며, $S^1$-작용의 서로 다른 strata에서의 기여는 점근 전개에 어떻게 나타나는가?
• RQ4 CR 지수 정리를 적용하여, 약한 강한 편평성 조건을 만족하는 CR 다양체에서 많은 CR 함수의 존재를 보장하는 CR 형태의 Grauert-Riemenschneider 기준을 증명할 수 있는가?
• RQ5 오비폴드 선다발에 대한 Kawasaki의 Hirzebruch-Riemann-Roch 공식은 원환면 다발 구축을 통해 스무스 CR 다양체 위의 지수 정리로 재해석될 수 있는가?

주요 결과

• Kohn $ar\boxempty_b$ 연산자의 열핵 점근 전개는 $S^1$-작용의 하위차원 strata로의 거리 함수로부터 기존의 열핵 전개에 존재하지 않는 새로운 기여를 포함한다.
• Getzler의 스케일링을 통해 슈퍼트레이스에서 비자명한 strata 기여가 상쇄되며, 이는 접선 체르니 형식과 토드 형식에 의한 국소 지수 정리로 이어진다.
• 열핵의 트레이스 적분은 반정수 거듭제곱의 $t$를 포함하는 점근 전개를 보이며, $t^{-n + e/2}$ 계수는 코드레인지 $e$를 가진 strata의 체적 합인 $Z_{[\tau],s}$ 에 비례한다.
• 주요 stratum에 대해 주요 항은 $D_{1,m}(2\tau)^{-1}(2\tau t)^{-n}\text{vol}(X)$ 이며, 하위 strata의 수정 항은 $t^{-n + e/2}$ 차수에서 나타난다.
• 무게 인자 $D_{\bullet,m}$ 과 $D_{\bullet,m,[\tau]}$ 는 $p_\bullet$ 가 $m$ 을 나누면 양수이며, 이는 트레이스 적분에서 strata 기여의 양수성을 보장한다.
• 결과적으로 Kawasaki의 오비폴드 선다발에 대한 Hirzebruch-Riemann-Roch 공식을, 등변 코hom로이를 사용하지 않고도 스무스 CR 원환면 다발 위의 지수 정리로 재해석할 수 있다.