[논문 리뷰] Hecke C*-algebras, Schlichting completions, and Morita equivalence

S. Kaliszewski, Magnus B. Landstad외 1명|ArXiv.org|2003. 11. 13.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 헤이크 C*-대수를 연구하기 위해 슈라이히팅 완비화를 위상수학적 도구로 도입한다. 헤이크 대수 ℋ를 전적으로 이산적인 군 Ḡ의 군 C*-대수의 모서리 pC*(Ḡ)p에 포함시키며, 여기서 p는 컴acts open 부분군 Ḣ의 특성 함수이다. 주요 기여는 ℋ의 C*-완비화가 pC*(Ḡ)p와 일치하고, 펠과 리프엘의 불변성 정리들을 사용하여 C*(Ḡ)와의 모리타 동치가 성립하는 조건을 확립하는 것이다. 이는 반직접곱 군에 대한 응용과 PSL(2,ℚq)와 같은 예시를 포함한다.

ABSTRACT

The Hecke algebra H(G,H) of a Hecke pair (G,H) is studied using the Schlichting completion (G',H'), which is a Hecke pair whose Hecke algebra is isomorphic to H(G,H) and which is topologized so that H' is a compact open subgroup of G'. In particular, the representation theory and C*-completions of H(G,H) are addressed in terms of the projection p in C*(G') corresponding to the characteristic function of H', using both Fell's and Rieffel's imprimitivity theorems and the identity H(G,H) = p C_c(G') p. An extended analysis of the case where H is contained in a normal subgroup of G (and in particular the case where G is a semidirect product) is carried out, and several specific examples are analyzed using this approach.

연구 동기 및 목표

• 위상수학적 및 연산자 대수학적 도구를 사용하여 헤이크 대수의 표현 이론과 C*-완비화를 분석하는 체계적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 특히 관련 군이 비헤르미트일 경우, 헤이크 대수가 유니버설 C*-완비화를 갖지 못하는 문제를 다루기 위해.
• 헤이크 C*-대수가 슈라이히팅 완비화 (Ḡ, Ḣ)의 군 C*-대수 내에서 모서리 대수 pC*(Ḡ)p와 동형이 되는 조건을 확립하기 위해.
• p가 C*(Ḡ)에서 전방위적(projection p is full)일 때, pC*(Ḡ)p와 C*(Ḡ) 사이의 모리타-리프엘 동치가 성립하는 조건을 명확히 하기 위해.
• 반직접곱의 경우에 세미군 작용이나 교차곱 구성에 의존하지 않고도 헤이크 C*-대수를 직접 계산하는 새로운 직접적 접근법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 헤이크 쌍 (G, H)의 슈라이히팅 완비화 (Ḡ, Ḣ)를 유한 몫군들의 역극한으로 구성하여, Ḣ이 전적으로 이산적인 군 Ḡ의 컴팩트 열린 부분군이 되도록 한다.
• ℋ를 pC_c(Ḡ)p로 식별하며, 여기서 p = χ_Ḡ는 Ḣ의 특성 함수이다.
• 펠의 불변성 정리를 사용하여 ℋ의 양의 표현을 G의 특정 표현과 이중모듈러 구조를 통해 연결한다.
• 리프엘의 불변성 정리를 적용하여 pC*(Ḡ)p가 C*(Ḡ) 내의 이상 Ḃ = C*(Ḡ)pC*(Ḡ)와 모리타-리프엘 동치임을 보인다.
• G가 H를 포함하는 정규부분군을 가지며, 그리고 반경통집합 T = {t ∈ G | tHt⁻¹ ⊇ H}가 G = T⁻¹T를 만족할 경우, ℋ의 C*-완비화를 pC*(Ḡ)p로 특성화한다.
• 겔판트 스펙트럼과 pL¹(Ḡ)p의 표현 이론을 사용하여 PSL(2,ℚq) 및 아이와호리 부분군과 같은 구체적 예제를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤이크 대수의 C*-완비화가 슈라이히팅 완비화의 군 C*-대수 내 모서리 대수 pC*(Ḡ)p와 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 p = χ_Ḡ가 C*(Ḡ)에서 전방위적일 때, pC*(Ḡ)p와 C*(Ḡ) 사이의 모리타-리프엘 동치가 성립하는가?
• RQ3 G = T⁻¹T (T = {t ∈ G | tHt⁻¹ ⊇ H})의 방향성 조건이 ℋ의 C*-완비화가 pC*(Ḡ)p와 동형이 되는지를 완전히 특성화하는가?
• RQ4 세미군 작용이나 교차곱 구성에 의존하지 않고도 반직접곱 군의 경우에 헤이크 C*-대수를 직접 계산할 수 있는가?
• RQ5 pC*(Ḡ)p가 가환일 경우(예: PSL(2,ℚq)), pC*(Ḡ)p의 겔판트 스펙트럼과 헤이크 대수의 C*-완비화 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 헤이크 쌍 (PSL(2,ℚq), PSL(2,ℤq))에 대해 슈라이히팅 완비화는 (Ḡ, Ḣ) = (PSL(2,ℚq), PSL(2,ℤq))를 얻으며, 헤이크 대수 ℋ는 다항식환 ℂ[z + 1/z]과 동형이 되어, 이는 유니버설 C*-완비화를 갖지 못함을 의미한다.
• ℋ의 특성 π_z는 z ≠ 1일 때 π_z(φ_m) = [(1 - qz)/(q+1)(1 - z)](z/q)^m + [(q - z)/(q+1)(1 - z)](1/(qz))^m 으로 명시적으로 주어지며, z = 1일 때는 π_1(φ_m) = [2m(q-1) + q + 1]/[(q+1)q^m] 이다.
• 대수 pL¹(Ḡ)p는 가환적이지만 비헤르미트이며, 비자기수 특성을 갖는 특성을 허용하므로, z ∈ [−q, −1/q]일 때 C*(pL¹(Ḡ)p) ≠ pC*(Ḡ)p일 것이라 추측된다.
• z ∈ ℂ 이며 1/q ≤ |z| ≤ q일 경우, 특성 π_z는 PSL(2,ℚq)의 보조 시리즈 표현에서 유래하며, |z| = 1일 경우는 주 시리즈에서 유래한다.
• 아이와호리 부분군 예제에서, 방향성 조건 G = T⁻¹T 없이도 ℋ-표현의 양의 성질을 증명함으로써, 정리 6.4의 역이 성립하지 않음을 입증한다.
• ℋ가 가환일 경우, 예를 들어 PSL(2,ℚq)의 경우, 이상 Ḃ = C*(Ḡ)pC*(Ḡ)는 연속적 추적을 가지며 딕스미에르-두아디 불변량이 자명하므로, liminal이다.