[논문 리뷰] Heights and preperiodic points of polynomials over function fields

Robert L. Benedetto|ArXiv.org|2005. 10. 20.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 함수체 위의 다항식에 대해, 정규 높이가 0이면 전기하(prehypertic)임을 보여주며, 이는 다항식이 비등변(비등변형)일 때에만 성립한다. 즉, 상수 체 위의 다항식으로 동치변환될 수 없다는 뜻이다. 주요 결과는 정규 높이가 0이지만 전기하가 아닌 점이 존재하지 않음을 보여주며, 이는 무한체 위의 함수체 설정에서 노스코트의 유한성 원리의 동역학적 유사물 해결을 의미한다.

ABSTRACT

Let K be a function field in one variable over an arbitrary field F. Given a rational function f(z) in K(z) of degree at least two, the associated canonical height on the projective line was defined by Call and Silverman. The preperiodic points of f all have canonical height zero; conversely, if F is a finite field, then every point of canonical height zero is preperiodic. However, if F is an infinite field, then there may be non-preperiodic points of canonical height zero. In this paper, we show that for polynomial f, such points exist only if f is isotrivial. In fact, such K-rational points exist only if f is defined over the constant field of K after a K-rational change of coordinates.

연구 동기 및 목표

• 함수체에서 정규 높이가 0인 점이 전기하가 되는 조건을 규명하고, 특히 국소체와의 대비에서 이를 다루는 것.
• 무한체 위의 함수체에서 정규 높이가 0이면 전기하임의 동치관계가 성립하지 않는 문제를 해결하는 것.
• 등변성의 역할이 정규 높이가 0이지만 전기하가 아닌 점의 존재에 미치는 영향을 규명하는 것.
• 노스코트 정리에 유사한 함수체 위의 동역계에서 전기하 점의 유한성 결과를 확장하는 것.
• 비등변 다항식이 함수체 위에서 정규 높이가 0이면 전기하임의 조건을 증명하여 수체의 성질을 모방하는 것.

제안 방법

• Call-Silverman 이론에 기반한 유리 함수 사상과 관련된 정규 높이의 사용.
• 함수체의 각 소에서의 국소 동역학을 위한 채워진 줄리집합의 응용.
• 각 소에서 채워진 줄리집합에 속하는 점들 간의 차이를 유계화하기 위한 곱의 공식 사용.
• 좋은, 악화, 잠재적으로 양호한 감소 유형의 분석을 통해 채워진 줄리집합의 기하학적 구조를 통제하는 것.
• 등변성 테스트를 위한 아핀 동치변환: 지도가 K-유리 좌표변환 후 상수 체 위의 다항식으로 변환될 수 있으면 등변이다.
• 다양한 소에서의 채워진 줄리집합의 교차에 속하는 K-유리 점의 수를 유계화함으로써 유한성을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체 위의 다항식에서 정규 높이가 0이지만 전기하가 아닌 점이 존재하지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ2 등변성이 정규 높이가 0이지만 전기하가 아닌 점의 존재에 미치는 정확한 역할은 무엇인가?
• RQ3 무한체 위의 함수체에서 정규 높이가 0이면 전기하임의 동치관계를 복원할 수 있는가?
• RQ4 다양한 소에서의 채워진 줄리집합의 구조는 높이가 0인 유리 점의 존재를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 비등변 동역계에서 함수체 위의 전기하 점에 대해 어떤 유한성 상한을 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 함수체 위의 비등변 다항식에 대해, 모든 K-유리 점 중 정규 높이가 0인 점은 전기하이다.
• 다항식이 비등변이면, 정규 높이가 0인 K-유리 점의 집합은 유한하다.
• 다항식이 등변이면, 높이가 0이지만 전기하가 아닌 점이 존재할 수 있으며, 예를 들어 φ(z) = z² over Q(T)에서 이를 보여준다.
• 나쁜 감소가 s개 있는 경우, K-유리 전기하 점의 수는 O(s log s)로 유계화되며, 명시적인 상한이 제시된다.
• 증명은 모든 소에서 채워진 줄리집합에 속하는 K-유리 점이 존재하면, 정수론적 곱의 공식에 모순이 발생하며, 이는 점이 유한개여야 함을 보여준다.
• 이 결과는 수체의 결과와 유사하게, 함수체 설정에서 비등변 지ap에 대해 노스코트 유형의 유한성 원리를 확장한다.