[논문 리뷰] Heights of Heegner points on Shimura curves

Shou-Wu Zhang|ArXiv.org|2001. 01. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 모듈러 형식과 L-함수의 이론을 힐버트 모듈러 형식을 통한 자코벳-랑즈 전이를 통해 일반화하여, 제로가 없는 제수열을 가진 힐버트 새로운형식에 대응하는 아벨 다양체의 모를라-베일 랭크가 그 L-함수의 s=1에서의 영점의 차수와 같고, 그 샤파레비치-타이트 군이 유한하다는 것을 증명한다. 이는 토탈리얼 수체에서 힐버트 모듈러 형식의 이론을 일반화한 것으로, 퀼러-즈지어와 코리바진 정리의 일반화를 위해 퀸타이온 대수와 관련된 슈미라 곡선 위의 히그너 포인트를 연구함으로써 달성된다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to generalize some results of Gross-Zagier [20] and Kolvyvagin [28] to totally real fields.

연구 동기 및 목표

• Q에서 임의의 토탈리얼 수체로의 고즈-자지어 및 코리바진 정리의 확장을 이루는 것.
• L-함수의 해석적 랭크와 토탈리얼 수체 위의 아벨 다양체의 대수적 랭크 사이의 관계를 설정하는 것.
• 평행 무게 2인 힐버트 새로운형식에 대응하는 아벨 다양체의 샤파레비치-타이트 군의 유한성을 증명하는 것.
• 모를라-베일 군을 제어하기 위해 슈미라 곡선 위의 CM-포인트의 오일러 체계를 구성하는 것.
• 힐버트 모듈러 형식의 이론을 자코벳-랑즈 전이를 통해 일반화하여, 모듈러 형식과 L-함수의 이론을 힐버트 모듈러 형식의 설정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 완전히 실수 수체 F 위에서, 제수열이 하나의 아르키메데스 장소를 제외한 모든 곳에서 비분할인 퀸타이온 대수 B의 산술 부분군에 의해 상반평면의 몫으로서 슈미라 곡선을 구성한다.
• 자코벳-랑즈 대응을 이용하여 GL2(AF) 위의 새로운형식을 B의 곱셈군 위의 자동형식으로 전이한다.
• 제수열 N에서 분할되지 않고, 그로센카르티에의 부호 조건을 만족하는 허수의 허수 이차 확장 E/F에 대해, CM-포인트로서 슈미라 곡선과 관련된 히그너 포인트를 정의한다.
• 에이처러-시무라 관계와 전역 교차 이론을 적용하여 슈미라 곡선의 아벨 다양체 위에서 히그너 포인트의 높이 쌍을 계산한다.
• 클리포드 대수와 연결 수를 포함한 아르키메데스 및 비아르키메데스 교차 이론을 이용하여 국소 및 전역 높이 쌍을 계산한다.
• 랭킨-셀버그 방법과 해석적 프로젝션을 이용하여 아이젠스타인 급수의 푸리에 계수와 L-함수의 특별한 값 및 도함수 사이의 관계를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고즈-자지어 및 코리바진 정리는 Q에서 토탈리얼 수체로 확장될 수 있는가?
• RQ2 힐버트 새로운형식의 L-함수의 영점의 차수와 그에 대응하는 토탈리얼 수체 위의 아벨 다양체의 모를라-베일 랭크 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 모를라-베일 군을 제어하기 위해 토탈리얼 수체 위의 슈미라 곡선에 대해 CM-포인트의 오일러 체계를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 토탈리얼 수체 위의 슈미라 곡선의 아벨 다양체의 구조는 무엇이며, 자동형 L-함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 국소 및 전역 높이 쌍은 슈미라 곡선에서 어떻게 L-함수의 특별한 값과 도함수를 계산하는가?

주요 결과

• 평행 무게 2 및 수준 K0(N)인 힐버트 새로운형식 f에 대응하는 수체 F 위의 아벨 다양체 A의 모를라-베일 랭크는 s=1에서 L(s,f)의 영점의 차수의 [Of : Z] 배와 같다.
• L-함수 L(s,f)가 s=1에서 차수 ≤1이면, A의 샤파레비치-타이트 군은 유한하다.
• 허수 이차 확장의 환 클래스 체 위에서, 힐버트 새로운형식에 대응하는 CM-포인트의 오일러 체계가 구성되었으며, 힐버트 새로운형식에 대응하는 CM-포인트의 오일러 체계가 힐버트 연산자에 대해 요구되는 호환성을 만족한다.
• 슈미라 곡선의 아벨 다양체 위에서 히그너 포인트의 전역 높이 쌍은 랭킨-셀버그 방법을 통해 L-함수의 도함수를 계산한다.
• 아르키메데스 및 비아르키메데스 자리에서의 국소 높이 쌍은 클리포드 대수와 연결 수를 이용하여 계산되며, 이는 높이에 대한 전역 공식을 이끌어낸다.
• 최종적으로 높이 쌍의 공식은 L-함수의 도함수와 일치하여 주요 산술기하학적 대응을 확립한다.