[논문 리뷰] Hereditarily non-topologizable groups

Gábor Lukács|arXiv (Cornell University)|2006. 03. 21.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모든 부분상계군이 비위상화 가능한 군인 유전적으로 비위상화 가능한 군—즉, 부분군과 상계군이 모두 비위상화 가능한 군—을 조사하며, 가산离산 군에서 이러한 군들이 c-콤���성과 동치임을 증명한다. 이는 이러한 군이 반드시 유한해야 한다는 것을 보여주며, 위상군 이론에서 오랫동안 미해결된 문제를 해결하고, 군론적 성질과 위상공간에서의 콤팩티시티를 연결한다.

ABSTRACT

A group G is non-topologizable if the only Hausdorff group topology that G admits is the discrete one. Is there an infinite group G such that H/N is non-topologizable for every subgroup H <= G and every normal subgroup N

연구 동기 및 목표

• 무한한 유전적으로 비위상화 가능한 군이 존재하는가를 규명하는 것.
• 이러한 군의 존재를 위상군에서의 c-콤팩티시티 문제와 연결하는 것.
• 유도 계열과 유한지수 부분군을 이용하여 유전적으로 비위상화 가능한 군에 대한 대수적 제약 조건을 설정하는 것.
• 가산 유전적으로 비위상화 가능한 군이 유한함을 보여주어 c-콤팩티시티 문제의 특수한 케이스를 해결하는 것.

제안 방법

• Dikranjan과 Uspenskij의 결과로부터 유도된, 가산 이산 군에서 c-콤팩티시티와 유전적인 비위상화 가능성의 동치성 이용.
• 아벨 몫군에 대한 보르 위상(Bohr topology)을 적용하여, 유한 아벨 군이 유일하게离산 위상으로서의 하우스도르프 군 위상이 존재함을 보여주는 것.
• 부분상계군의 프로-유한 완비화를 이용하여, 모든 유한지수 정규부분군의 교집합이 유한지수를 가짐을 보이는 것.
• 유도 계열에 대한 귀납법을 사용하여, 임의의 부분군의 유도 길이가 유한하고, 유도 계열이 정지함을 증명하는 것.
• 유전적으로 비위상화 가능한 군에서는 임의의 부분상계군에 대해 유일한 하우스도르프 군 위상이 이산 위상임을 이용하는 것.
• 쿠라토프스키-므로카 정리와 SIN 군의 성질을 활용하여, c-콤팩티시티 문제를 가산 이산 경우로 환원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 부분상계군이 비위상화 가능한 무한군이 존재하는가?
• RQ2 모든 가산 유전적으로 비위상화 가능한 군은 유한한가?
• RQ3 유전적으로 비위상화 가능한 군은 위상군에서의 c-콤팩티시티와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 유전적으로 비위상화 가능한 군이 반드시 갖추어야 할 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ5 국소 콤팩트 SIN 군의 c-콤팩티시티 문제를 가산 이산 경우로 환원할 수 있는가?

주요 결과

• 가산 이산 군은 c-콤팩트일 필요와 충분조건이 유전적으로 비위상화 가능할 때이다.
• 모든 유전적으로 비위상화 가능한 군은 자기의 교환자부분군과 일치하는 최소의 유한지수 정규부분군을 갖는다.
• 유전적으로 비위상화 가능한 군의 임의의 부분군 H에 대해, 모든 k ∈ ℕ에 대해 H^(k)는 H에서 유한지수를 가진다.
• 임의의 부분군의 유도 계열은 유한한 단계 이후 정지하며, 어떤 n ∈ ℕ에 대해 H^(n) = H^(n+1)가 성립한다.
• 부분군 H가 해석 가능할 경우, H는 무한한 내림차순의 유도 부분군을 가질 수 없기에 반드시 유한해야 한다.
• 무한한 유전적으로 비위상화 가능한 군의 존재는, 콤팩트가 아니지만 무한한 c-콤팩트 군의 존재를 암시하며, 이는 가산 경우에서의 알려진 동치성과 모순된다.