[논문 리뷰] Hessian formulas and estimates for parabolic Schrödinger operators

Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 29.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 57인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 드리프트와 포텐셜을 가진 리만 다양체 위의 포물형 슈뢰딩거 연산자에 대해 두 번째 차수의 파인먼-카프 공식과 헤시안 추정치를 수립한다. 이중으로 감쇠된 확률적 평행 이동과 기하학적 곡률 조건—특히 $\mathop{\rm Ric}-2\mathop{\rm Hess}h$, 곡률 연산자, 그리고 순환 합 $\Theta^h$—을 사용하여 열핵의 헤시안에 대한 정확한 가우시안 추정치를 도출하며, 비가중치 경우를 초월한 확률적 헤시안 공식을 확장한다.

ABSTRACT

We study the Hessian of the fundamental solution to the parabolic problem for weighted Schrödinger operators of the form $\frac 12 Δ+ abla h-V$ proving a second order Feynman-Kac formula and obtaining Hessian estimates. For manifolds with a pole, we use the Jacobian determinant of the exponential map to offset the volume growth of the Riemannian measure and use the semi-classical bridge as a delta measure at $y_0$ to obtain exact Gaussian estimates. These estimates are in terms of bounds on $Ric-2 Hess (h)$, on the curvature operator, and on the cyclic sum of the gradient of the Ricci tensor.

연구 동기 및 목표

• 리만 다�양체 위의 포물형 슈뢰딩거 연산자 해의 헤시안에 대해 두 번째 차수의 파인먼-카프 공식을 유도하는 것.
• 확률적 방법과 기하학적 곡률 조건을 사용하여 기본해 $p_t^{h,V}$에 대한 정밀한 헤시안 추정치를 수립하는 것.
• 드리프트 $h$와 포텐셜 $V$를 확률적 감쇠 평행 이동을 통해 비가중치 경우를 초월한 기존의 헤시안 공식을 확장하는 것.
• 특히 $\mathop{\rm Ric}-2\mathop{\rm Hess}h$, 곡률 연산자, $\Theta^h$와 같은 곡률 항목들이 헤시안 성장과 감쇠를 어떻게 규명하는지 규명하는 것.
• 강한 1-완전성과 유계 곡률 등의 기하학적 가정 하에 열핵의 헤시안에 대한 정확한 가우시안 유형 추정치를 제공하는 것.

제안 방법

• 곡률 연산자 $\mathcal{R}$와 곡률 항목 $\Theta^h$를 포함한 $\frac{1}{2}\mathop{\rm Ric}^\sharp - \nabla^2 h$에 의해 구동되는 이중 감쇠 확률적 평행 이동 방정식을 도입하는 것.
• 이중 감쇠 방정식의 해 $W_t^{(2)}$를 도함수 흐름의 두 번째 도함수의 국소 조건부 기대값으로 사용하는 것.
• 도함수 $f$ 또는 $V$를 미분하지 않고도 $W_t$와 $W_t^{(2)}$를 포함하는 기대값으로 $\mathop{\rm Hess} P_t^{h,V}f$를 표현하는 두 번째 차수의 파인먼-카프 공식을 유도하는 것.
• 기본해 $p_t^{h,V}(x_0,y_0)$를 경로 적분을 통해 표현하기 위해 반-반사 브리지(semi-classical bridge)를 $y_0$에서의 $\delta$-측도로 사용하는 것.
• 리만 측도의 체적 증가를 상쇄하기 위해 지오데식 맵의 자코비안 행렬식을 사용하는 것으로 정확한 가우시안 추정치를 가능하게 하는 것.
• 기울기 SDE의 강한 1-완전성을 적용하여 도함수 과정의 적분 가능성과 $L^2$ 수렴을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 함수나 포텐셜을 미분하지 않고서도 포물형 슈뢰딩거 방정식 해에 대한 두 번째 차수의 헤시안 추정치를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 순환 합 $\nabla \mathop{\rm Ric}^\sharp$로 정의된 곡률 항목 $\Theta^h$는 헤시안 공식에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $\mathop{\rm Ric}-2\mathop{\rm Hess}h$, 곡률 연산자, $\Theta^h$의 경계가 열핵의 헤시안에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 확률적 방법과 기하학적 가정을 사용하여 $p_t^{h,V}$의 헤시안에 대한 정확한 가우시안 추정치를 확보할 수 있는가?
• RQ5 이중 감쇠 확률적 평행 이동 과정이 도함수 흐름의 두 번째 차수 행동을 어느 정도 정확히 포괄하는가?

주요 결과

• 도함수 $f$ 또는 $V$를 미분하지 않고도 $W_t(v_1,v_2)$와 $W_t^{(2)}(v_1,v_2)$를 포함하는 기대값의 합으로 표현되는 $\mathop{\rm Hess} P_t^{h,V}f$에 대해 두 번째 차수의 파인먼-카프 공식이 수립되었다.
• 조건 C1(a), C3, 및 C5(g) 하에서 헤시안은 $\nabla df(v_1,v_2) = \mathbb{E} \left[ \nabla df(W_t(v_2), W_t(v_1)) \right] + \mathbb{E} \left[ df(W_t^{(2)}(v_2,v_1)) \right]$ 를 만족한다.
• 반-반사 브리지와 지오데식 맵의 자코비안 행렬식에 의한 체적 보정을 조합하여 $p_t^{h,V}$에 대한 정확한 가우시안 추정치를 확보하였다.
• 곡률 항목 $\Theta^h$는 $d$와 $\Delta^h$ 간의 교환법칙 위반의 원인으로 자연스럽게 나타나며, 헤시안 공식에서 필수적이다.
• 강한 1-완전성 조건 하에서 이중 감쇠 확률적 평행 이동 과정 $W_t^{(2)}$는 도함수 흐름의 두 번째 도함수의 국소 조건부 기대값으로 밝혀졌다.
• $\rho^h = \mathop{\rm Ric} - 2\mathop{\rm Hess}h$의 유계성과 도함수 과정의 적분 가능성 조건 하에서 헤시안 공식은 $L^2$ 및 $L^1$ 수렴을 보였다.